USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q10
Sejam um espaço vetorial de dimensão e um operador linear cujo polinômio característico seja:
Pode-se afirmar que:
- Se , então não será diagonalizável;
- Se , então será diagonalizável;
- é injetor;
- ;
- Se , então será diagonalizável.
Passo 1
Faaaalem, meus consagrados! Para garantir diagonalizabilidade, devemos primeiro garantir que as raízes do polinômio característico são todas reais. De fato, isto ocorre para . Logo, está correta, pois se , então não será diagonalizável.
Passo 2
Como é raiz de de multiplicidade , , então as alternativa é falsa. Ainda, uma vez que , não é injetora e é falsa.
Ademais, caso , o operador será diagonalizável se e somente se e
, logo as alternativas e são falsas.
Resposta
- Se , então não será diagonalizável;
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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.