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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q3

Seja T : P 2 R → P 2 ( R ) um operador linear tal que:

K e r T - 2 I = 1 + t ,   1 - t 2                 e                 K e r T - I = [ 1 + t + t 2 ]

Em que I :   P 2 R → P 2 ( R ) denota a transformação identidade. Considere a base B = { 1 , t , t 2 } de P 2 ( R ) . Se

T 333 B = a b c d e f g h i

Então a + d será igual a:

  1. 2 - 2 333
  2. 2 334
  3. 1 - 2 333
  4. 1 + 2 334
  5. - 2 333

Passo 1

Fala, moçada! Se ligue que a questão te deu tudo o que é necessário para diagonalizar uma matriz – autovalores e autovetores L.I. – na intenção de que dado T = P D P - 1 com D = d i a g ( λ 1 ,   λ 2 ,   λ 3 ) diagonal, tenhamos T 2 = P D P - 1 P D P - 1 = P D 2 P - 1 e da mesma forma:

T 333 = P D 333 P - 1

Com D 333 = d i a g ( λ 1 333 , λ 2 333 , λ 3 333 ) .

Dos dados, extraímos que 1 é autovalor com autovetor 1 + t + t 2 e 2 é autovalor com autovetores 1 + t e 1 - t 2 . Os dois últimos são L.I. entre si, uma vez que possuem graus distintos e L.I. com o primeiro autovetor, pois estão associados a autovalores distintos. Assim, tomando esses autovetores por colunas de P na base B , temos:

P = 1 1 1 1 1 0 1 0 - 1               e                   D = 1 0 0 0 2 0 0 0 2

Passo 2

Para finalizar o cálculo da potência de T , falta encontrar o inverso de P . Assim,

  P     I   ) = 1 1 1 1 1 0 1 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 2 ' → L 2 - L 1 ⇒ L 3 ' → L 3 - L 1 1 1 1 0 0 - 1 0 - 1 - 2 1 0 0 - 1 1 0 - 1 0 1 L 2 ' → L 2 - L 3 ⇒ L 1 ' → L 1 + L 3  

⇒ 1 0 - 1 0 1 1 0 - 1 - 2 0 0 1 0 1 - 1 - 1 0 1 L 3 ' → L 3 + L 2 ⇒  

⇒ 1 0 - 1 0 1 1 0 0 - 1 0 0 1 0 1 - 1 - 1 1 0 L 1 ' → L 1 - L 3 L 2 ' → L 2 + L 3 ⇒ L 3 ' → - L 3  

⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 1 0 =   I   P - 1 )

Passo 3

Computando a potência, temos por fim:

T 333 = P D 333 P - 1

= 1 1 1 1 1 0 1 0 - 1 1 333 0 0 0 2 333 0 0 0 2 333 1 - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 1 0

= 1 2 333 2 333 1 2 333 0 1 0 - 2 333 1 - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 1 0

= 1 b c 1 - 2 333 e f g h i

Assim, a + d = 1 + 1 - 2 333 = 2 - 2 333 .

Resposta

  1. 2 - 2 333

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