Considere as seguintes afirmações:
- Se for um inteiro positivo, for uma transformação linear sobrejetora, for uma base de e for uma base de , então as colunas da matriz serão linearmente independentes;
- Se for uma base de e for a transformação linear tal que e para todo então ;
- Se for uma transformação linear diagonalizável, então a matriz que representa na base canônica terá determinante não nulo.
Assinale a alternativa correta:
- Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
- Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
- Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
- Todas as afirmações são falsas;
- Todas as afirmações são verdadeiras;
Passo 1
Faaaaala, galerinha! De passo em passo, a gente chega lá. Veja que o problema na primeira é o caso em que . Neste caso, vê que a matriz para que se multiplique por um vetor do domínio. Isto é, possui colunas as quais são vetores de . Com , não há como serem L.I. Logo, é falsa.
Passo 2
Para , veja que a linearidade garante que:
Logo, a parte das outras entradas nulas em :
Aplicando novamente
Assim, de fato, e é verdadeira
Passo 3
Repare que só uma alternativa atende aos resultados encontrados. Não custa nada ver que é falsa uma vez que o operador linear nulo é diagonalizável.
Resposta
- Apenas a afirmação (II) é verdadeira;