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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q2

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se n for um inteiro positivo, T : R n → R 988 for uma transformação linear sobrejetora, B for uma base de R n e C for uma base de R 988 , então as colunas da matriz T B C serão linearmente independentes;
  2. Se B = { e 1 ,   e 2 ,   … ,   e 988 } for uma base de R 988 e T : R 988 → R 988 for a transformação linear tal que T e 1 = e 2 e T e j = 0 para todo j = 2 , … ,   988 ,   então T B 2 = 0 ;
  3. Se T : R 988 → R 988 for uma transformação linear diagonalizável, então a matriz que representa T na base canônica terá determinante não nulo.

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
  2. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
  3. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
  4. Todas as afirmações são falsas;
  5. Todas as afirmações são verdadeiras;

Passo 1

Faaaaala, galerinha! De passo em passo, a gente chega lá. Veja que o problema na primeira é o caso em que n > 988 . Neste caso, vê que a matriz T B C = t i j 988 × n para que se multiplique por um vetor n × 1 do domínio. Isto é, possui n colunas as quais são vetores de R 988 . Com n > 988 , não há como serem L.I. Logo, ( I ) é falsa.

Passo 2

Para ( I I ) , veja que a linearidade garante que:

T x e 1 = x T e 1 = x e 2

Logo, a parte das outras entradas nulas em e 2 :

T B ( x 1 ,   x 2 ,   … ,   x 988 ) = ( 0 , x 1 ,   … ,   0 )

Aplicando novamente

T B 2 x 1 ,   x 2 ,   … ,   x 988 = T B 0 , x 1 ,   … ,   0 = ( 0,0 , … ,   0 )

Assim, de fato, T B 2 = 0 e ( I I ) é verdadeira

Passo 3

Repare que só uma alternativa atende aos resultados encontrados. Não custa nada ver que ( I I I ) é falsa uma vez que o operador linear nulo ( u ↦ 0 ,   p a r a   t o d o   u ∈ R 988 ) é diagonalizável.

Resposta

  1. Apenas a afirmação (II) é verdadeira;

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