USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q1
Sejam um espaço vetorial de dimensão finita e um operador linear diagonalizável. Suponha que o polinômio característico de seja e considere as seguintes afirmações:
- O operador é nulo;
- ;
- Existem infinitas bases de tais que a matriz seja diagonal.
Assinale a alternativa correta:
- Todas as afirmações são verdadeiras;
- Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
- Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
- Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
- Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
Passo 1
Faaaala, galerinha! Vamos analisar as afirmações. Acerca do polinômio característico, temos que seu grau equivale à dimensão do espaço vetorial e suas raízes são os autovalores de . Logo,
E é seu único autovalor de , com multiplicidade 754.
Passo 2
Como é diagonalizável, podemos escrever:
Onde é a matriz cujas colunas são 754 autovetores que compõem uma base de e é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os autovalores de . Assim:
Tal que:
Logo, é de fato o operador nulo.
Passo 3
E ainda, seja a matriz de mudança de base da base canônica para uma base qualquer de . Pela teoria de mudança de base, teremos que:
Como , teremos . Assim, para qualquer base de , teremos diagonal.
Podemos, pois, concluir que todas as afirmações são verdadeiras.
Resposta
- Todas as afirmações são verdadeiras;