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Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q11

Considere o espaço vetorial R 2 munido do seu produto interno usual. Sejam T : R 2 → R 2 e S : R 2 → R 2 os operadores lineares tais que:

T B C = 5 - 5 / 2 0 5 / 2                   e                       S C B = 2 0 - 1 - 1

Em que B e C são as bases de R 2 dadas por:

B = 2,1 , 1 , - 2               e                 C = { 1,1 , ( 1 , - 1 ) }

Assinale a alternativa correta:

  1. T é simétrico e S não é simétrico;
  2. T e S são ambos simétricos;
  3. Nem T nem S são simétricos e as matrizes T B e S B são semelhantes;
  4. Nem T nem S são simétricos e as matrizes T B e S B não são semelhantes;
  5. S é simétrico e T não é simétrico.

Passo 1

Faaaala, galerinha do bem! Vamos usar as matrizes e bases para analisar os operadores T e S quanto à simetria. Para calcular T B , temos que achar a imagem dos elementos da base B do domínio. Assim, primeiro encontremos a imagem na base canônica usando a matriz dada:

T 2,1 = T B C 1 0 B = 5 - 5 / 2 0 5 / 2 1 0 B = 5 0 C = 5 1,1 = ( 5,5 )

T 1 , - 2 = T B C 0 1 B = 5 - 5 / 2 0 5 / 2 0 1 B = - 5 / 2 5 / 2 C = - 5 2 1,1 + 5 2 1 , - 1 = ( 0 , - 5 )  

Escrevendo na base B , agora:

T 2,1 = 5,5 = 3 2,1 - ( 1 , - 2 )

T 1 , - 2 = 0 , - 5 = - 2,1 + 2 ( 1 , - 2 )

Como 2,1 = 1 , - 2 = 5 , B ' = 1 5 2,1 , 1 5 1 , - 2 é uma base ortonormal e tomando as imagens acima, por colunas:

T B ' = T B = 3 - 1 - 1 2

Veja que T é simétrico.

Passo 2

Analogamente, encontremos a imagem (na base canônica) dos elementos de C utilizando a matriz dada:

S 1,1 = S C B 1 0 C = 2 0 - 1 - 1 1 0 C = 2 - 1 B = 2 2,1 - 1 1 , - 2 = ( 3,4 )

S 1 , - 1 = S C B 0 1 C = 2 0 - 1 - 1 0 1 C = 0 - 1 B = - 1 1 , - 2 = ( - 1,2 )

Escrevendo na base C , agora:

S 1,1 = 3,4 = 7 2 1,1 - 1 2 ( 1 , - 1 )

S 1 , - 1 = - 1,2 = 1 2 1,1 - 3 2 ( 1 , - 1 )

Novamente, 1,1 = 1 , - 1 = 2 , C ' = 1 2 1,1 , 1 2 ( 1 , - 1 ) é uma base ortonormal e

S C ' = S C = 7 / 2 1 / 2 - 1 / 2 - 3 / 2

Obtemos pois que S não é simétrico.

Resposta

  1. T é simétrico e S não é simétrico;

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