PREC de Álgebra Linear 2 da USP - 2016

Q1. Sejam um espaço vetorial real de dimensão 3 munido de um produto interno e uma base de tal que:

e .

Se for a base ortogonal de obtida de pela aplicação do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, então será igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Q2. Seja uma matriz real tal que:

A soma das entradas da matriz é igual a:

a) 0;

b) 2;

c) 1;

d) -1;

e) -2;

Q3. Sejam um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno, uma base de , um operador linear e . Assinale a alternativa correta:

a) se for simétrico e for ortonormal, então será diagonal;

b) se for simétrico e não for simétrica, então não será ortonormal;

c) se for ortonormal, então será simétrica e será diagonalizável;

d) se for diagonal, então será formada por autovetores de e será simétrico;

e) se for diagonalizável e for diagonal, então será ortonormal.

Q4. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA:

a) se for um operador linear que seja representado na base canônica de por uma matriz real e se for um autovetor de , então também será um autovetor de ;

b) se for tal que seu polinômio característico tenha duas raízes reais distintas, então

c) se o polinômio característico de tiver coeficientes reais e se for um autovalor de , então existirá uma matriz inversível tal que seja diagonal;

d) se o polinômio característico de tiver coeficientes reais e se for um autovalor de , então também será um autovalor de ;

e) se for tal que seu polinômio característico tenha uma raiz complexa não real, então será diagonalizável sobre .

Q5. Sejam um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e um operador linear tal que

Para todos . Suponha que seja um autovalor de . Pode-se afirmar que:

a) ou ;

b) ;

c) ;

d) ou ;

e) .

Q6. Sejam tais que a matriz

Tenha polinômio característico dado por e tais que seja feita a igualdade:

Seja fixado um sistema de coordenadas no plano, com uma base ortonormal, e considere a cônica de equação:

Uma equação reduzida para essa cônica é:

a)

b)

c)

d)

e)

Q7. Considere o espaço vetorial munido do produto interno definido por:

Seja um operador linear simétrico cujos únicos autovalores sejam 2 e 5 e que satisfaça a igualdade

Em que denota o operador identidade de . Temos que é igual a:

Q8. Seja uma matriz simétrica cujo polinômio característico seja dado por e que satisfaça as igualdades:

e

Temos que a solução do sistema de equações diferenciais satisfazendo a condição é dada por:

a)

b)

c) ;

d)

e)

Q9. Seja um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e considere as seguintes afirmações:

(i) se for uma base de e for ortogonal a todo elemento de , então

(ii) se for um subespaço de tal que , então

(iii) se for um operador linear e for um subespaço de invariante por , então também será invariante por .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

b) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação (i) é necessariamente verdadeira;

d) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

e) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras.

Q10. Seja uma base de e considere a base de dada por:

Se for a transformação linear tal que

Então será igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Q11. Seja uma matriz cujos únicos autovalores reais sejam 1 e 3. Pode-se afirmar que:

a) é simétrica;

b) é diagonalizável sobre ;

c) o polinômio característico de é

d) a soma das entradas na diagonal principal de é igual a 4;

e) é inversível.

Q12. Sejam um inteiro e a matriz cujas entradas sejam todas iguais a 1. Considere as seguintes afirmações:

(i) não é diagonalizável sobre

(ii) é um autovalor de ;

(iii) 0 é uma raiz do polinômio característico de cuja multiplicidade é igual a .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações (ii) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

b) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

c) apenas as afirmações (i) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

d) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

e) apenas a afirmação (iii) é necessariamente verdadeira;

Q13. Sejam e a transformação linear tal que:

e .

Temos que será injetora se, e somente se, for diferente de :

a) 4;

b) 3;

c) 2;

d) 1;

e) 0.

Q14. Considere as bases e de e de , respectivamente. Se for a transformação linear tal que

Então será igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Q15. Considere o espaço vetorial munido do seu produto interno usual e seja o subespaço de definido por:

e .

Assinale a alternativa correspondente a uma base de :

a)

b)

c)

d)

e)

Q16. A soma das duas entradas na primeira coluna da matriz

É igual a:

a)

b)

c)

d)

e)