USP – Álgebra Linear 2 – REC – 2016
Q11. Seja uma matriz cujos únicos autovalores reais sejam 1 e 3. Pode-se afirmar que:
a) é simétrica;
b) é diagonalizável sobre ;
c) o polinômio característico de é
d) a soma das entradas na diagonal principal de é igual a 4;
e) é inversível.
Passo 1
Falaaa... beleza??
Nessa questão precisamos lembrar da propriedade que uma matriz é inversível se, e somente se, 0
não é um autovalor de .
Passo 2
a) Não podemos afirmar que ela seja simétrica.
b) Também não podemos afirmar que ela é diagonalizável. Poderíamos, se ela fosse simétrica.
c) Como a matriz tem dimensão 3, então o polinômio característico ou seria ou pois precisa ter três autovalores e os únicos autovalores reais são 1 e 3. Um dos dois se repete. Não poderia ser um autovalor complexo porque o seu conjugado também deveria ser.
d) não podemos afirmar. Seria verdade absoluta, se a matriz fosse diagonal.
e) é a verdadeira, pela propriedade, pois 0 não é autovalor de
Letra e
Resposta
Letra e