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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – REC – 2016

Q13. Sejam a , b ∈ R e T : R 3 → P 3 R a transformação linear tal que:

T 1,0 , 0 = 1 + a t - t 2 ,   T 0,1 , 0 = - 1 + t + 2 t 2 - 5 t 3 e T 0,0 , 1 = 2 + b t - 3 t 2 + 5 t 3 .

Temos que T será injetora se, e somente se, a - b for diferente de :

a) 4;

b) 3;

c) 2;

d) 1;

e) 0.

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos achar o valor de a - b para que T seja injetora.

Pra isso vamos lembrar que uma transformação é injetora se o Núcleo da transformação for somente o vetor 0.

Passo 2

Vamos achar a transformação:

T x , y , z = x T 1,0 , 0 + y T 0,1 , 0 + z T 0,0 , 1

= x 1 + a t + t 2 + y ( - 1 + t + 2 t 2 - 5 t 3 + z 2 + b t - 3 t 2 + 5 t 3

= x + a x t + x t 2 - y + y t + 2 y t 2 - 5 y t 3 + 2 z + b z t - 3 z t 2 + 5 z t 3

Então:

x - y + 2 z = 0

a x + y + b c = 0

x + 2 y - 3 z = 0

- 5 y + 5 z = 0

Manipulando isso tudo chegamos em:

a x - x - b x = 0

a - b = 1

Letra d

Resposta

Letra d

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