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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – REC – 2016

Q10. Seja C = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 uma base de R 4 e considere a base B de R 4 dada por:

B = 1,0 , 0,0 , 1,1 , 0,0 , 1,1 , 1,0 , 1,1 , 1,1

Se T : R 4 → R 4 for a transformação linear tal que

T B C = 0 1 0 1 - 1 1 - 1 1 0 0 0 1 - 1 - 1 1 1

Então T 1,0 , 1 , 0 será igual a:

a) v 3 - 3 v 4 ;

b) - v 1 - 3 v 2 + v 4 ;

c) v 1 + v 3 ;

d) - 2 v 2 ;

e) 2 v 1 + v 2 + v 3 .

Passo 1

Falaaa... beleza??? Nessa questão queremos achar T 1,0 , 1,0 .

Pra isso precisamos lembrar que se tivermos a matriz que representa a transformação linear de uma base pra outra, temos que cada vetor da primeira base é uma combinação linear da segunda base. Os coeficientes da combinação linear são os vetores coluna da matriz transformação.

No nosso caso, pra exemplificar, Pra calcular T 1,0 , 0,0 , pegamos a primeira coluna da matriz e escrevemos:

T 1,0 , 0,0 = 0 v 1 + - 1 v 2 + 0 v 3 + - 1 v 4

Passo 2

Primeiro vamos achar o vetor 1,0 , 1,0 como combinação linear dos vetores da base B :

1,0 , 1,0 = a 1,0 , 0,0 + b 1,1 , 0,0 + c 1,1 , 1,0 + d 1,1 , 1,1

Chegamos no sistema:

a + b + c + d = 1 b + c + d = 0 c + d = 1 d = 0

Resolvendo:

d = 0

c = 1

b = - 1

a = 1

Então:

1,0 , 1,0 = 1,0 , 0,0 - 1,1 , 0,0 + 1,1 , 1,0

Aplicando a transformação dos dois lados:

T 1,0 , 1,0 = T 1,0 , 0,0 - T 1,1 , 0,0 + T 1,1 , 1,0

Passo 3

Calculando cada uma separadamente, usando a matriz de transformação (lembra que pegamos a coluna da matriz):

T 1,0 , 0,0 = 0 v 1 + - 1 v 2 + 0 v 3 + - 1 v 4

= - v 2 - v 4

T 1,1 , 0,0 = 1 v 1 + 1 v 2 + 0 v 3 + - 1 v 4 = v 1 + v 2 - v 4

= v 1 + v 2 - v 4

T 1,1 , 1,0 = 0 v 1 + - 1 v 2 + 0 v 3 + 1 v 4

= - v 2 + v 4

Então:

T 1,0 , 1,0 = T 1,0 , 0,0 - T 1,1 , 0,0 + T 1,1 , 1,0

= ( - v 2 - v 4 ) - v 1 + v 2 - v 4 + ( - v 2 + v 4 )

= v 1 - 3 v 2 + v 4

Letra B

Resposta

Letra B

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