USP – Álgebra Linear 2 – REC – 2016
Q3. Sejam um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno, uma base de , um operador linear e . Assinale a alternativa correta:
a) se for simétrico e for ortonormal, então será diagonal;
b) se for simétrico e não for simétrica, então não será ortonormal;
c) se for ortonormal, então será simétrica e será diagonalizável;
d) se for diagonal, então será formada por autovetores de e será simétrico;
e) se for diagonalizável e for diagonal, então será ortonormal.
Passo 1
E aiii... tudo bem??
Nessa questão vamos analisar as alternativas e achar qual é a correta.
Pra isso vamos precisar lembrar da definição de operador linear simétrico: dizemos que o operador é simétrico se a matriz que o representa em uma base ortonormal é simétrica.
Também precisamos lembrar da propriedade: se é um operador simétrico, então existe uma base ortonormal tal que a matriz na base é uma matriz diagonal.
Passo 2
a) Está errada, pois se for simétrico e for ortonormal, então será simétrica. Não podemos garantir que seja diagonal.
b) Está certinha.
c) Está errada. A definição é que se for simétrico e for ortonormal, então será simétrica. Tem que tomar cuidado com a ordem das afirmações na frase.
d) A ordem das afirmações também está trocada, quando comparada à propriedade.
e) Outra com a ordem das afirmações trocada.
Resposta
Letra b