Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

Exercício 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – REC – 2016

Q9. Seja um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e considere as seguintes afirmações:

(i) se for uma base de e for ortogonal a todo elemento de , então

(ii) se for um subespaço de tal que , então

(iii) se for um operador linear e for um subespaço de invariante por , então também será invariante por .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

b) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação (i) é necessariamente verdadeira;

d) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

e) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Falaaa.. beleza??

Nessa questão vamos analisar as alternativas e dizer quais são necessariamente verdadeiras.

Pra isso vamos lembrar que para um vetor ser ortogonal ao outro, o produto interno entre os dois deve ser igual a zero.

Também que pra um subespaço ser invariante por

Passo 2

i) É verdadeira.

Uma boa forma de ver é se pegarmos o próprio vetor e fazer o produto interno:

Então ;

ii) É verdadeira.

Se o complemento ortogonal de não tem nenhum vetor que seja ortogonal, então

iii) É falsa.

Letra e

Resposta

Letra e

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