Q12. Sejam um inteiro e a matriz cujas entradas sejam todas iguais a 1. Considere as seguintes afirmações:

(i) não é diagonalizável sobre

(ii) é um autovalor de ;

(iii) 0 é uma raiz do polinômio característico de cuja multiplicidade é igual a .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações (ii) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

b) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

c) apenas as afirmações (i) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

d) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

e) apenas a afirmação (iii) é necessariamente verdadeira;

Vamos começar olhando o caso mais simples que é:

Para achar os autovalores:

Como a matriz é simétrica e seus autovalores são reais e distintos, já podemos dizer que ela é diagonalizável.

(i) é falsa.

Agora vamos pensar numa matriz :

E pra achar os autovalores:

Aplicando o teorema de Laplace na primeira linha, temos:

Então:

Portanto, a (ii) é verdadeira;

Repara que:

Para achar os outros autovalores diferentes de teremos que fazer:

E isso só vai acontecer quando e repara também que a matriz tem dimensão

Então a (iii) também é verdadeira.

Letra a