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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – REC – 2016

Q7. Considere o espaço vetorial P 3 R munido do produto interno definido por:

p , q = ∫ - 1 1 p t q t d t   ,       p , q ∈ P 3 R

Seja T : P 3 R → P 3 ( R ) um operador linear simétrico cujos únicos autovalores sejam 2 e 5 e que satisfaça a igualdade

K e r T - 2 I = 1 , t 2

Em que I denota o operador identidade de P 3 R . Temos que K e r T - 5 I é igual a:

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos achar K e r T - 5 I ,   que é o conjunto de autovetores associados ao autovalor 5 .

Pra isso vamos ter que lembrar que autovetores associados a autovalores diferentes são ortogonais, ou seja, o produto interno é igual a zero.

E vamos usar o processo de Gran-Schmidt:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 1 , v 1 v 1 2 v 1

Passo 2

Repara que já temos os autovetores associados ao autovalor 2, maaaas eles não são ortogonais. Então vamos ortogonalizar usando o processo de Gran-Schmidt.

Chamando w 1 = v 1 = 1 , temos:

1 2 = 1 , 1

= ∫ - 1 1 d t

= 2

v 1 , v 2 = 1 , t 2

= ∫ - 1 1 t 2 d t

= 2 3

Então temos:

w 2 = v 2 - v 1 , v 1 v 1 2 v 1

= t 2 - ( 2 / 3 ) 2 ( 1 )

= t 2 - 1 3

Passo 3

Agora vamos chamar uma função qualquer de terceiro grau:

p = a t 3 + b t 2 + c t + d

E fazer o produto interno com w 1 :

w 1 , p = ∫ - 1 1 1 a t 3 + b t 2 + c t + d d t  

= 2 b 3 + 2 d

Como w 1 , p = 0 :

2 b 3 + 2 d = 0 → d = b 3

O produto interno com w 2 :

w 2 , p = ∫ - 1 1 t 2 - 1 3 a t 3 + b t 2 + c t + d d t  

= 8 b 45

Como w 2 , p = 0 :

b = 0

Daí:

d = 0

Então o polinômio fica:

p = a t 3 + c t

Então:

K e r T - 5 I = t , t 3

Letra e

Resposta

Letra e

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