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P1 de Álgebra Linear da UFRJ - 2016.2

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Álgebra Linear - UFRJ

Sejam v 1 , v 2 , v 3 vetores de R 4 e seja V = v 1 , v 2 , v 3 o subespaço gerado por estes vetores. O conjunto dos possíveis valores para a dimensão de V é:

a   0,1 , 2,3

b   0,1 , 2,3 , 4

c   3

d   4

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Sejam v 1 = 1 , 2,3 ,   v 2 = 0,1 , 1 ,   b 1 = 1,1 , 2,1 ,   b 2 = 1 , - 1,0 , 2 . Seja A uma matriz 4 × 3 tal que A v 1 = b 1 e A v 2 = b 2 . Se v = - 1 , 0 , - 1 , então A v é igual a:

( a ) 1,3 , 2 , - 3

( b ) - 3,1 , 2,3

( c ) 1 , - 3 , - 2,3

( d ) - 1,2 , - 3,3

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Seja

A = 1 2 - 1 1 1 - 1 - 1 - 2 1 2 - 1 1 1 1 - 1 0

Determine qual dos conjuntos abaixo forma uma base para a imagem de A .

( a ) 1,2 , - 1,1 , 1 , - 1 , - 1 , - 2 , 1 , - 1 , - 1,0

( b ) 1,1 , 1,1 , 2 , - 1,2 , 1 , 1 , - 2,1 , 0

( c ) 1,1 , 1,1 , 2 , - 1,2 , 1

( d ) 1,1 , 1,1 , 2 , - 1,2 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 , - 1 , 1 , - 2,1 , 0

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Considere o sistema linear A x = b . Suponha que o sistema:

1 não tenha solução se b = b 1 ;

2 não tenha solução se b = b 2 ;

3 tenha solução se b = b 3 .

Pode-se afirmar que o sistema:

a não tem solução se b = b 2 + b 3

b tem solução se b = b 1 + b 2

c não tem solução se b = b 1 + b 2

d tem solução se b = b 2 + b 3

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Seja A uma matriz 4 × 4 cujo núcleo tem como base β = 1,1 , 0,1 , 1,1 , 1,0 . Sabendo que v = 1 , 2,0 , - 1 é solução de A v = b para um certo b , uma outra solução do mesmo sistema é dada por:

( a ) 1,2 , 0,1

( b ) 1,2 , - 1,0

( c ) 1,2 , 1 , - 1

( d ) 1,2 , 0,0

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Um subespaço W ⊂ R 3 admite a base

β = 1,1 , 2 , 1 , - 1,1

Qual dos conjuntos abaixo também é base de W ?

a   2,0 , 3 , 2,0 , 1

b   1,3 , 3 , 1,1 , 2

c   0 , - 2,1 , 0 , - 2 , - 1

d   1,1 , 2 , 1,1 , 0

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Considere o sistema A x = b onde b = 1 , 1,1 , 1 e

A = 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0

A soma das entradas da única solução do sistema vale:

( a ) 3

( b ) 1

( c ) 4

( d ) 2

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A inversa da matriz A é dada por

A - 1 = 2 - 1 0 2 - 2 1 0 1 2

Seja b = 3 , - 1,1 . A solução do sistema A x = b é:

a   7,10,1

b   7,9 , 1

c   7,9 , 0

( d ) 6,10,1

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Determine qual dos conjuntos abaixo gera R 3

( a ) 1,1 , 1 , 1,1 , 0 , - 1 , - 1,2

( b ) 1,1 , 1 , 1,1 , 0 , 2,2 , 1

( c ) 1,1 , 1 , 1,1 , 0 , 2,2 , - 2

( d ) 1,1 , 1 , 1,1 , 0 , 2,1 , 2

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Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas:

I   Todo subconjunto linearmente independente de R n possui um número finito de vetores.

I I Todo subconjunto linearmente dependente de R n possui um número finito de vetores.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

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Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas abaixo para uma matriz A , m × n , onde m < n :

  1. Sempre existe um subconjunto linearmente independente de R n que gera o núcleo de A .
  2. A imagem de A é um subconjunto de R n .

a   I é verdadeira e I I é falsa

b   I é verdadeira e I I é verdadeira

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é falsa e I I é falsa

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Quais são todos os possíveis valores de α e β para que o sistema linear a seguir não tenha solução?

3 - 3 6 3 - 6 9 - 15 - 6 - 3 0 - 5 + α - 3 6 0 6 12 x y z w = 0 3 2 + β 6

( a ) α = 1 , β = - 4

( b ) α ≠ 3 , β = - 3

( c ) α = 2 , β ≠ - 5

( d ) α = 3 , β ≠ - 3

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Considere as seguintes afirmações:

I   Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum deles é múltiplo escalar dos demais.

I I Se o conjunto u → , v → , w → é linearmente independente, então o conjunto u → + v → , v → + w → , u → + w → também é linearmente independente.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

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Considere o sistema linear A x = b . Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

I   Se b pertence ao espaço gerado pelas colunas de A , então A x = b tem solução única.

I I Se b não pertence ao espaço gerado pelas colunas de A , então A x = b tem infinitas soluções.

( a ) Ambas são falsas.

( b ) I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) Ambas são verdadeiras.

( d ) I I é verdadeira e I é falsa.

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Considere o sistema linear A x = b . Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

I   Se as colunas de A são linearmente independentes e b pertence à imagem de A , então A x = b tem solução única.

I I Se as colunas de A são linearmente dependentes e b pertence à imagem de A , então A x = b tem infinitas soluções.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) Ambas são falsas.

( b ) Ambas são verdadeiras.

( c ) I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) I é falsa e I I é verdadeira.

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Uma matriz A 3 × 3 foi escalonada, sofrendo consecutivamente as seguintes operações-linha:

l 2 ← l 2 - 2 l 1

l 3 ← l 3 + 2 l 1

l 3 ← l 3 + l 2

O resultado deste escalonamento é a matriz 1 3 2 0 1 4 0 0 1 . Qual é a solução de A x = 1 , 6 , - 5 ?

( a ) x = - 15 , - 3,12

( b ) x = 2,1 , 4

( c ) x = - 73,26 , - 5

( d ) x = - 1,0 , 1

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2013.1P3 - 2015.2.2P2 - 2015.2.1P2 - 2015.2.2P3 - 2017.1P3 - 2018.1P2 - 2022.1P2 - 2022.2P4 - 2018.1P1 - 2022.2