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Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

A1 T24

Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas abaixo para uma matriz A , m × n , onde m < n :

  1. Sempre existe um subconjunto linearmente independente de R n que gera o núcleo de A .
  2. A imagem de A é um subconjunto de R n .

a   I é verdadeira e I I é falsa

b   I é verdadeira e I I é verdadeira

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é falsa e I I é falsa

Passo 1

Afirmativa I

Em uma matriz m × n , temos que o domínio é o R n e o contradomínio é o R m . Como m < n , temos que:

dim ⁡ D o m A > dim ⁡ C D o m A

Além disso, como a imagem de A está contida no contra domínio de A , temos:

dim ⁡ C D o m A > dim ⁡ I m A

Logo,

dim ⁡ D o m A > dim ⁡ I m A

Pelo T N I temos então que:

dim ⁡ D o m A = dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A

Como dim ⁡ D o m A > dim ⁡ I m A , temos que:

dim ⁡ N u c A > 1

Como o núcleo pertence ao domínio de A , o R n , e sua dimensão é maior que 1 , sempre existe um subconjunto linearmente independente de R n que gera o núcleo de A . Essa é verdadeira.

Passo 2

Por favor, não diga NUNCA que essa é verdadeira!! A imagem de A sempre, SEMPRE vai pertencer ao contradomínio de A ! Logo, a imagem de A é um subconjunto de R m , e não de R n . Falsa.

Resposta

Letra ( a )