P2 de Álgebra Linear da UFRJ - 2015.1

Os autovalores da matriz são:

Seja uma reflexão ortogonal em relação a uma reta. Sabendo-se que é um autovetor associado ao autovalor , é dada por:

A matriz possui os autovalores , e . Os autovetores de associados ao seu maior autovalor são da forma:

Considere a transformação linear , tal que existe um vetor , não-nulo, onde Se o determinante da matriz for igual a , então:

é uma projeção na reta definida por

é uma reflexão pela reta definida por

é uma rotação

é uma expansão

Seja uma matriz e um vetor não-nulo qualquer. Considere as afirmativas abaixo e assinale a afirmativa CORRETA:

1. Se o traço de é menor que zero, então sempre vai existir.
2. Se o determinante de é maior que zero, então sempre vai existir.

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

Os autovalores da matriz são e . Seja uma sequência de vetores, onde é a primeira coluna da matriz . A inclinação dos vetores da sequência tende à inclinação de uma reta. Qual?

Seja uma matriz quadrada, . Considere as afirmativas abaixo:

1. Se é injetiva, então o sistema sempre tem mais de uma solução.
2. Se é sobrejetiva, então o sistema sempre tem solução única.

Ambas são falsas

Ambas são verdadeiras

é falsa e é verdadeira

é verdadeira e é falsa

Calcule a soma dos MÓDULOS dos autovalores da matriz

Sejam uma matriz quadrada e um autovetor de associado ao autovalor . Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. O vetor é um autovetor de associado ao autovalor .
2. O vetor é um autovetor de associado ao autovalor .

é falsa e é verdadeira

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

é verdadeira e é falsa

Sejam um subconjunto de , e uma transformação linear. Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. Se é então podemos concluir que é injetiva.
2. Se é então podemos concluir que a dimensão da imagem de é no máximo .

é falsa e é verdadeira

Ambas são verdadeiras

é verdadeira e é falsa

Ambas são falsas

Seja uma matriz quadrada. Considere as afirmativas abaixo:

1. Se a soma dos elementos de cada linha de é igual a uma constante , então é um autovalor de .
2. Se a soma dos elementos de cada coluna de é igual a uma constante , então é um autovalor de .

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira

Ambas são verdadeiras

é verdadeira e é falsa

Seja , e , não nulo, tal que . Considere as afirmativas abaixo:

1. Existe , não nulo, tal que
2. Existem tal que é um conjunto

Ambas são verdadeiras

é verdadeira e é falsa

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira

Assinale a transformação linear, , resultante da reflexão ortogonal através da reta seguida da reflexão ortogonal através da reta :

Seja uma matriz . Considere as afirmativas abaixo:

1. pode ser sobrejetiva somente se
2. pode ser injetiva somente se

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

Sejam e matrizes . Considere as seguintes afirmativas:

1. Se não tem autovetores, então não tem autovetores.
2. Mesmo que tenha apenas uma direção de autovetores, pode ter duas direções distintas de autovetores.

Ambas são verdadeiras

é falsa e é verdadeira

Ambas são falsas

é verdadeira e é falsa.