Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

Ver Teoria
Exercício 2412345678910111213141516171819202122232526272829303132333435363738394041424344

Enunciado

A1 T24

Seja A uma matriz m × n . Considere as afirmativas abaixo:

  1. A pode ser sobrejetiva somente se n ≥ m
  2. A pode ser injetiva somente se m ≥ n

a   Ambas são verdadeiras

b   Ambas são falsas

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Afirmativa I :

Vamos analisar nosso T N I :

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A = dim ⁡ D o m A ⏟ n

dim ⁡ I m A ≤ n

Nesse caso, vemos que a dimensão da nossa imagem é no máximo n (tem seu máximo quando a dimensão do núcleo é igual a zero). E para que A seja sobrejetiva, precisamos que:

dim ⁡ I m A = dim ⁡ C D o m A ⏟ m

Juntando as duas,

dim ⁡ I m A = m ≤ n

n ≥ m

Afirmativa verdadeira.

Passo 2

Afirmativa I I :

Para A ser injetiva, precisamos que:

dim ⁡ N u c A = 0

Pelo T N I :

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A ⏟ 0 = dim ⁡ D o m A ⏟ n

dim ⁡ I m A = n

Mas sabemos que a imagem se encontra no contradomínio, então sua dimensão está limitada à do contradomínio:

dim ⁡ I m A ≤ dim ⁡ C D o m A ⏟ m

Juntando as duas equações:

dim ⁡ I m A = n ≤ m

m ≥ n

Afirmativa verdadeira.

Você também podia lembrar que eu falei isso na teoria e não precisar pensar nisso tudo :p

Resposta

Letra a