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Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

A5 T1

Seja A uma matriz quadrada. Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se a soma dos elementos de cada linha de A é igual a uma constante k , então k é um autovalor de A .
  2. Se a soma dos elementos de cada coluna de A é igual a uma constante k , então k é um autovalor de A .

a   Ambas são falsas

b   I é falsa e I I é verdadeira

c   Ambas são verdadeiras

d   I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Caraca que afirmativas bizarras! Bom, vamos ver como podemos resolver isso né. Vamos ver a afirmativa I I (porque eu acho mais fácil de provar haha). Temos uma matriz A , cuja soma dos elementos de cada coluna é igual a k :

a d g b e h c f i , a + b + c = d + e + f = g + h + i = k

Estou tomando ela 3 × 3 mas isso que vou fazer valeria para qualquer matriz quadrada! A afirmativa diz que k tem que ser um autovalor dessa matriz! Então tem que existir um autovetor tal que:

a d g b e h c f i x y z = k x k y k z

Ou seja:

a x + d y + g z = k x b x + e y + h z = k y c x + f y + i z = k z

Agora vamos somar todas as equações:

a x + b x + c x + d y + e y + f y + g z + h z + i z = k x + k y + k z

Botando x , y e z em evidência:

x a + b + c ⏟ k + y d + e + f ⏟ k + z g + h + i ⏟ k = k x + k y + k z

k x + k y + k z = k x + k y + k z

E como podemos ver, essa doidera é verdade sim!!

Passo 2

Tendo provado a I I a I saí fácil. Sabemos que se a soma dos elementos de cada coluna de A é igual a uma constante k , então k é um autovalor de A .

Se pegarmos A T , teremos que agora a soma dos elementos de cada linha de A T é igual a uma constante k . Como os autovalores de A e A T são sempre iguais, então k também é autovalor de A T . Essa também é verdadeira.

Resposta

Letra c

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