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Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

A5 T2 T3

Seja T : R 2 → R 2 uma reflexão ortogonal em relação a uma reta. Sabendo-se que v = 1,2 é um autovetor associado ao autovalor 1 , T x , y é dada por:

a   T x , y = x 5 + 2 y 5 , - 2 x 5 + y 5

b   T x , y = x , - y

c   T x , y = - 3 x + 4 y , 4 x + 3 y

d   T x , y = - 3 x 5 + 4 y 5 , 4 x 5 + 3 y 5

Passo 1

Opa, se 1,2 é autovetor associado ao autovalor 1 , sabemos que a nossa T L está refletindo em torno dele! Logo, o vetor ortogonal a ele será autovetor associado ao autovalor - 1 :

T 1,2 = 1,2

T - 2,1 = 2 , - 1

Bom, agora tem vários jeitos de seguirmos com a resolução da questão. Eu pessoalmente acho mais rápido jogar esses dois vetores nas opções e ver qual a única que dá o resultado certo! Vamos fazer assim então!

Passo 2

a   T 1,2 = 1,0 Eliminada!

b   T 1,2 = 1 , - 2 Eliminada!

c   T 1,2 = 5,10 Eliminada!

d   T 1,2 = 1,2 OK!

Bom então nem precisava achar o vetor ortogonal, facilitaram bastante nossa vida nessa haha. Só pra garantir vamos testar nele também:

d   T - 2,1 = 2 , - 1 OK!

Resposta

Letra ( d )