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Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

A1 T24

Seja A , 3 × 3 e v → , não nulo, tal que A v → = 0 → . Considere as afirmativas abaixo:

  1. Existe w → , não nulo, tal que A T w → = 0 →
  2. Existem v → 1 , v → 2 , v → 3 tal que A T v → 1 , A T v → 2 , A T v → 3 é um conjunto L I

a   Ambas são verdadeiras

b I é verdadeira e I I é falsa

c   Ambas são falsas

d   I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz 3 × 3 , onde existe um vetor v → que pertence ao núcleo de A . Ou seja, a dimensão do núcleo de A é pelo menos 1 . Nesse caso, pelo teorema do núcleo-imagem:

dim ⁡ I m A ⏟ ≤ 2 + dim ⁡ N u c A ⏟ ≥ 1 = dim ⁡ D o m A ⏟ 3

Isso implica que nossa imagem tem dimensão menor ou igual a 2 . Mas sabemos que a dimensão da imagem de A é a mesma da de A T :

dim ⁡ I m A = dim ⁡ I m A T

Logo, pelo T N I novamente:

dim ⁡ I m A T ⏟ ≤ 2 + dim ⁡ N u c A T = dim ⁡ D o m A T ⏟ 3

Com isso chegamos à conclusão de que:

dim ⁡ N u c A T ≥ 1

Logo, existe sim um vetor w → , não nulo, tal que A T w → = 0 → , já que sabemos que A T possui núcleo com dimensão maior que 0 . A afirmativa I é verdadeira.

Passo 2

Pegando emprestada nossa análise ali em cima, temos que:

dim ⁡ I m A T ⏟ ≤ 2 + dim ⁡ N u c A T ⏟ ≥ 1 = dim ⁡ D o m A T ⏟ 3

Repare que a dimensão da nossa imagem é no máximo 2 . A afirmativa I I ta falando que pode existir um conjunto A T v → 1 , A T v → 2 , A T v → 3 L I . Po, mas se isso fosse verdade, A T seria capaz de gerar um espaço de três dimensões, ou seja, teria uma imagem de dimensão 3 . E sabemos que isso é impossível, então essa é falsa.

Resposta

Letra b