A2 T14
Sejam um subconjunto de , e uma transformação linear. Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.
- Se é então podemos concluir que é injetiva.
- Se é então podemos concluir que a dimensão da imagem de é no máximo .
é falsa e é verdadeira
Ambas são verdadeiras
é verdadeira e é falsa
Ambas são falsas
Passo 1
Afirmativa :
O que precisamos para que seja injetiva? Precisamos que a dimensão do núcleo seja igual a zero! Logo, pelo :
Então chegamos à conclusão de que para a transformação ser injetiva, a dimensão da sua imagem precisa ser igual a ! Essa informação nos diz que é , ou seja, já sabemos que essa transformação gera um espaço de pelo menos três dimensões.
Mas não é isso que a gente quer né? Podemos determinar um vetor tal que
é . Nesse caso, teríamos uma base para o domínio da transformação. Para que a transformação seja injetiva temos que garantir que esse vetor é tal que
é . Como não podemos garantir isso, essa é falsa.
Passo 2
Afirmativa :
Se é então a dimensão do espaço gerado por é no máximo . Mas não se esqueça de que nosso domínio tem dimensões!! Então precisaríamos conhecer , tal que
formassem uma base para o para poder dizer algo sobre a dimensão da imagem! Se , fosse nossa dimensão seria no máximo . Se fosse , ela seria no máximo como consta na afirmação. Então essa também é falsa.
Resposta
Letra