P2 de Álgebra Linear da UFRJ - 2018.1

Sejam

e um autovetor associado ao autovalor 2. Quanto vale ?

(a) -2

(b) 0

(c) 1

(d) 3

Sejam A e B matrizes 3x5 com B escalonada. Suponha que B tenha sido obtida a partir de A por aplicação de operações elementares nas linhas. Assinale a alternativa FALSA.

(a) O núcleo de B é igual ao núcleo de A.

(b) As colunas dos pivôs de B formam uma base da imagem de B.

(c) As linhas de B geram o espaço-linha de A.

(d) As colunas de B geram a imagem de A.

Seja uma transformação linear. Se a imagem de T tem dimensão 1, qual é a dimensão do núcleo de T?

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

Seja uma matriz quadrada e o sistema .

(I) Se existe um vetor tal que não tem solução, então nunca tem solução única.

(II) Se existe um vetor tal que possui solução única, então possui solução para todo vetor .

(a) Ambas as afirmações são falsas.

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

A matriz tem dois autovalores distintos. Um deles é 2.

(I) O outro autovalor é -2.

(II) O conjunto gerado pelos autovetores associados ao autovalor 2 tem dimensão 1.

(a) Ambas as afirmações são falsas.

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

No escalonamento da matriz A, que tem formato 3x3, foram permutadas as linhas 1 e 2 e, em seguida, a linha 3 foi substituída pela linha 3 menos o dobro da (nova) linha 1. A matriz resultante pode ser expressa na forma do seguinte produto de matrizes:

(a)

(b)

(c)

(d)

Se é autovetor de , então:

(a)

(b)

(c)

(d) Não pode se conhecer .

Seja tal que e . Então:

(a) T pode ser uma reflexão através de um plano.

(b) T pode ser uma projeção sobre um plano.

(c) T pode ser uma reflexão através de uma reta.

(d) T pode ser uma rotação em torno de um eixo.

A soma dos MÓDULOS dos autovalores da matriz

é:

(a) 5

(b) 6

(c) 7

(d) 8

Dado que e , calcule .

(a)

(b)

(c)

(d)

Três dados são lançados e os valores obtidos, a, b e c, compõem a matriz . Qual é a probabilidade de A não ser invertível? (Os dados têm seis faces numeradas de 1 a 6, todas com a mesma probabilidade de ocorrência).

(a) 2 chances em 216

(b) 12 chances em 216

(c) 15 chances em 216

(d) 25 chances em 216.

Considere as seguintes transformações lineares de em : , a reflexão através da reta ; , a projeção (ortogonal) sobre a reta y=0; , a transformação obtida pela composição de ambas, aplicando-se primeiro e em seguida . A matriz de é:

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja uma matriz não invertível, que possui um autorvalor e seja uma base de . Considere as afirmações:

(I) é LD

(II)

(a) Ambas são falsas.

(b) Ambas são verdadeiras.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Considere o produto .

(I) Se é injetiva, então é injetiva.

(II) Se , então

(a) Ambas as afirmações são falsas.

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(d) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

Dentre os vetores abaixo, assinale aquele cuja soma das coordenadas na base é mínima.

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja A uma matriz na forma

Onde cada representa um número diferente de zero. (Dois quadradinhos idênticos podem representar números diferentes). Então a inversa de A tem a forma:

(a)

(b)

(c)

(d)