Sejam A e B matrizes 3x5 com B escalonada. Suponha que B tenha sido obtida a partir de A por aplicação de operações elementares nas linhas. Assinale a alternativa FALSA.
(a) O núcleo de B é igual ao núcleo de A.
(b) As colunas dos pivôs de B formam uma base da imagem de B.
(c) As linhas de B geram o espaço-linha de A.
(d) As colunas de B geram a imagem de A.
Passo 1
Se B foi “obtida a partir de A através de operações elementares nas linhas”, significa que B foi a matriz resultante do escalonamento de A.
Lembra que, quando escalonamos uma matriz, apenas eliminamos as linhas que são combinações lineares das demais? Isso significa que não mudamos o espaço gerado pelas linhas!
Por outro lado, ao escalonarmos A, mudamos o espaço gerado por suas colunas, mais conhecido como imagem de A.
Vamos ver cada alternativa!
Passo 2
(a) O núcleo de B é igual ao núcleo de A.
Essa afirmação é verdadeira.
Se tivéssemos que achar o núcleo de A, iríamos igualar A à matriz nula e resolver o sistema homogêneo, certo?
Pra resolver esse sistema, precisaríamos escalonar a matriz A.
Logo, pra achar o núcleo de A iríamos acabar usando a matriz B – as duas têm o mesmo núcleo.
Mas calma que essa não é a resposta. A questão quer saber qual é a alternativa falsa 😊
Passo 3
(b) As colunas dos pivôs de B formam uma base da imagem de B.
Essa afirmação também é verdadeira.
Os pivôs são os primeiros elementos não nulos de cada linha (não nula) de uma matriz escalonada.
A matriz B já foi escalonada, então já zeramos quaisquer linhas que fossem LD. Então, se pegarmos as colunas com pivôs, vamos obter uma base pra imagem de B.
Passo 4
(c) As linhas de B geram o espaço-linha de A.
Essa afirmação é verdadeira também!
Lembra que eu falei que quando escalonamos não mudamos o espaço gerado pelas linhas (ou seja, o espaço linha)?
Então!
Se B foi obtida através do escalonamento de A, o espaço-linha delas é o mesmo.
Passo 5
(d) As colunas de B geram a imagem de A.
Essa afirmação é falsa.
Logo no início eu também falei que quando escalonamos A, mudamos o espaço gerado pelas colunas de A.
O espaço gerado pelas colunas de A é a imagem de A.
Então, se B é a matriz A escalonada, a imagem de B não é a mesma que a imagem de A. Em outras palavras, as colunas de B não geram a imagem de A.
Resposta
(d) As colunas de B geram a imagem de A.