Dado que e , calcule .
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Se precisamos elevar uma matriz a um expoente real, vamos precisar diagonaliza-la e pra diagonalizar, precisamos dos autovalores e autovetores da matriz.
Para diagonalizar uma matriz, precisamos fazer:
Onde D é a matriz diagonal com autovalores na diagonal e P é a matriz com autovetores na coluna.
Lembrando que a ordem que os autovetores aparecem em P deve respeitar a ordem que os autovalores associados aparecem em D!
O enunciado não dá nada direto pra gente, mas ele diz que:
Isso significa que é autovalor associado ao autovetor e é autovalor associado ao autovetor .
Agora já podemos diagonalizar a matriz A!
Passo 2
A matriz D nesse caso é:
Seguindo a mesma ordem, a P vai ser:
Calculando a inversa de P, obtemos:
Agora já temos tudo que precisamos para calcular , pois:
Resposta
(d)