Dentre os vetores abaixo, assinale aquele cuja soma das coordenadas na base é mínima.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
A base é uma base de . Isso significa que todo vetor de pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores dessa base, assim:
Os coeficientes a e b dessa combinação linear é o que a gente chama de coordenadas do vetor na base .
Então, não vai ter jeito: vamos ter que achar os valores de a e b pra cada vetor das alternativas e ver qual tem a menor soma de a e b.
Pra adiantar, vamos expandir a soma anterior:
Passo 2
(a)
Vimos que:
Substituindo:
Ficamos então com o sistema:
Multiplicando a primeira equação por -2:
Somando as duas equações resultantes:
Substituindo na primeira equação:
Então a soma das coordenadas nesse caso dá:
Passo 3
(b)
Ficamos então com o sistema:
Multiplicando a primeira equação por -2:
Somando as duas equações resultantes:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Então a soma das coordenadas dá:
Passo 4
(c)
Ficamos então com o sistema:
Multiplicando a primeira equação por -2:
Somando as duas equações resultantes:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Então a soma das coordenadas dá:
Passo 5
(d)
Por último:
Ficamos então com o sistema:
Multiplicando a primeira equação por -2:
Somando as duas equações resultantes:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Então a soma das coordenadas dá:
Passo 6
A resposta então vai ser a letra (b), pois nela a soma das coordenadas deu 1, que foi o menor resultado dentre todos.
Resposta
(b)