Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

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Enunciado

a)Sejam um espaço vetorial real com . Sabendo que , e , calcule .

Passo 1

Sabemos que podemos calcular a norma de um vetor da seguinte forma:

Assim, podemos dizer que e elevando os dois lados ao quadrado ficamos com .

Agora vou fazer o mesmo para as outras normas que o enunciado deu pra gente:

Pela linearidade do produto interno, podemos desmembrar isso aí em vários produtos internos pra facilitar nossa vida:

Repara que já temos o valor de , então podemos substituir e ficamos com:

Vamos guardar isso aí um pouquinho e ver a outra norma:

Substituindo o :

Passo 2

Ficamos com 2 equações e 2 incógnitas, o que isso lembra?! Um sistema linear!

Fazendo , temos:

Substituindo em :

Como achamos que , ou seja,

Passo 3

Vamos agora achar o que o enunciado realmente pediu,, pelas propriedades da norma de um vetor sabemos que:

,

Então,

Resposta

2017

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Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se u , v é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função P T : V × V → R definida por P T ( u , v ) = T ( u ) , T ( v ) .

Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .

Seja V = R 4 munido do produto interno usual, determinar um vetor não nulo v ∈ R 4 que seja ortogonal a v 1 = ( 1 ,1 ,1 ,- 1 ) , v 2 = ( 1 ,2 ,0 ,1 ) e v 3 = ( - 4 ,1 ,5 ,2 ) .

No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .

Consideremos no R 3 , o seguinte produto interno: x 1 , y 1 , z 1 ∙ x 2 , y 2 , z 2 = 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + 4 z 1 z 2 Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente o