Sejam A ,   B matrizes 2 × 2 tais que A x → , y → = x → , B y → ,   ∀ x → , y → ∈ R 2 , onde 〈 x → , y → 〉 é o produto interno euclidiano em R 2 .

Pode-se afirmar que:

a   B = A

b   B = A T

c   B = A - 1

d   B = - A

Passo 1

Para resolvermos, vamos criar algumas notações:

x → = x 1 x 2 ,   y → = y 1 y 2

A = a 1 a 2 a 3 a 4 ,   B = b 1 b 2 b 3 b 4

Agora vamos efetuar o produto interno, sabendo que:

A x → = a 1 x 1 + a 2 x 2 a 3 x 1 + a 4 x 2

B y → = b 1 y 1 + b 2 y 2 b 3 y 1 + b 4 y 2

Passo 2

Desenvolvendo o produto interno:

  A x → , y → = x → , B y → ⇒

a 1 x 1 + a 2 x 2 y 1 + a 3 x 1 + a 4 x 2 y 2 = b 1 y 1 + b 2 y 2 x 1 + b 3 y 1 + b 4 y 2 x 2 ⇒

a 1 x 1 y 1 + a 3 x 1 y 2 + a 2 x 2 y 1 + a 4 x 2 y 2 = b 1 y 1 + b 2 y 2 x 1 + b 3 y 1 + b 4 y 2 x 2 ⇒

a 1 y 1 + a 3 y 2 x 1 + a 2 y 1 + a 4 y 2 x 2 = b 1 y 1 + b 2 y 2 x 1 + b 3 y 1 + b 4 y 2 x 2

Pronto! Agora presta atenção nos dois lados. A única diferença entre eles são os elementos de A e de B . Mas se por acaso tivéssemos:

a 1 = b 1

a 3 = b 2

a 2 = b 3

a 4 = b 4

A equação estaria satisfeita, pois os dos lados seriam iguais!

Passo 3

Mas essa relação não te lembra alguma coisa? Olha só pra matriz B :

B = a 1 a 3 a 2 a 4

Repare que isso é exatamente a transposta de A !!!

Logo para o sistema ser verdade B = A T

Resposta

Letra ( b )

Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

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