PUCRIO, G1-2019.1
- Considere o segmento de reta onde e . Determine os vértices de e do retângulo cuja diagonal é e seus lados são paralelos aos eixos coordenados. Determine a área do retângulo.
- Considere diferentes de e os pontos do plano .
Prove que estes pontos determinam um triângulo retângulo e determine seus catetos.
- Considere os vetores e , onde . Determine todos os possíveis valores de de modo que os vetores e sejam perpendiculares.
- Considere um vetor de tal que . Seja um etor de tal que o vetor é perpendicular (ortogonal) ao vetor . Determine .
Prove que estes pontos determinam um triângulo retângulo e determine seus catetos.
Passo 1
Show de bolinhas galera, na letra (a) o enunciado deu pra gente o ponto e o ponto , e além disso ele diz pra gente que o segmento é a diagonal de um retângulo. E pede pra gente determinar os outros dois vértices e do retângulo. Belezoca, se a gente colocar esses pontos no plano, vamos ter:
E o segmento é a reta que liga esses dois pontos:
Logo, essa é a diagonal do retângulo. E como o enunciado garante pra gente que os lados do retângulo são paralelos aos eixos, temos que eles cruzam as respectivas linhas:
Portanto, os vértices e são justamente onde essas linhas pontilhadas se cruzam:
Dados por e . E dessa forma podemos também medir seus lados pra podermos calcular a área. A base do retângulo mede:
E a altura :
Logo a área do retângulo é:
Passo 2
Belejóia então galera, continuando na letra (b), o enunciado forneceu pra gente que pontos no plano :
Ele afirma ainda que e são diferentes de . Não contente com isso, ele pede pra gente provar que esses pontos forma um triângulo retângulo!
Mas peraí, vamos com carinho. Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto em um de seus vértices. Então se a gente conseguir provar que existem dois segmentos perpendiculares entre si, formado por esses pontos, então sim, teremos um triângulo retângulo. Os segmentos que que podemos formar com esses pontos são:
Então temos um total de segmentos, que são os lados do triângulo. Se dois desses lados formarem um ângulo reto, então teremos que esse triângulo é retângulo. E pra gente poder testar isso, podemos usar as relações de produto interno, já que quando fazemos o produto interno entre dois vetores perpendiculares/ortogonais o resultado é , ou seja, dados dois vetores quaisquer e , se:
Então e são ortogonais.
Então partiu testar o produto interno com os segmentos que a gente encontrou:
E não deu igual a , logo pra esses dois segmentos, não temos perpendicularidade. Agora testando com o , temos:
E olha o danado aí, se o nosso produto interno entre e resultou em , quer dizer que esses dois segmentos são ortogonais, e além disso, ELES SÃO OS CATETOS! Portanto formam um ângulo reto!! E já que o ponto se repete nos dois segmentos, quer dizer que o ângulo reto é em .
E só pra garantir, vamos testar o produto interno para os outros segmentos também:
Que também é diferente de . Portanto os pontos:
Formam sim um triângulo retângulo! Os catetos são e:
Passo 3
Agora na letra (c), o enunciado deu pra gente os vetores e , onde . E pede pra gente determinar todos os valores possíveis de de modo que os vetores e sejam perpendiculares.
Calma aí, porque a gente sabe que para dois vetores serem perpendiculares, o produto interno entre eles deve ser . Iradoso, então podemos encontrar o vetor e ver quanto vale o produto interno dele com :
Logo, o produto interno entre e fica assim:
E como queremos que eles sejam perpendiculares, o resultado desse produto interno tem que ser , logo:
Portanto, para , os vetores e são perpendiculares.
Passo 4
E por fim na letra (d), o enunciado deu pra gente que existe um vetor de tal que , e além disso também existe um vetor de tal que é perpendicular (ortogonal) ao vetor . Belezoca, depois que ele falou tudo isso, ele pediu pra gente calcular .
Chuchu beleza então galera, se os vetores e são ortogonais, quer dizer que o produto interno entre eles é , isto é:
E é aqui que a malandragem fez morada, porque agora podemos “distribuir” esse produto interno, saca só.
Primeiro para :
E agora abrindo , temos:
E como , temos que:
E como o módulo de um vetor é calculado através da fórmula:
E temos que , chegamos que:
E para temos:
E por fim, descobrimos que o módulo de era igual ao módulo de
Resposta
- Os catetos são: e .
- .
- .