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Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P4 – 2017.1, Questão 2

Seja v → um vetor do R 4 . Considere as afirmativas abaixo:

I - Se v → possui pelo menos uma componente com módulo maior que 1, então v → ≥   1

II - Se v → possui todas as componentes com módulo menor que 1, então v → ≤   1

(a) Ambas são falsas

(b)   I é falsa e I I é verdadeira

(c) Ambas são verdadeiras

(d) I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Vamos analisar essas alternativas, supondo v → = ( x , y , z , w )

I - Primeiro calculando o módulo desse vetor:

v → = x 2 + y 2 + z 2 + w 2

Vamos imaginar algumas situações com pelo menos uma componente maior que 1 pra ficar mais claro na nossa cabeça:

v → = 2 2 + 1 2 + 0 + 0 2 = 5 > 1

v → = 1,1 2 + 0 + 0 + 0 2 = 1,1 > 1

Pode tentar pensar em algum contraexemplo, não tem!! Isso porque essa afirmativa é verdadeira!

Acontece que um número com módulo maior que 1 ao quadrado sempre vai ser maior que 1, aí somado com as outras componentes, esse número só vai continuar igual (se as outras componentes forem zero) ou aumentar (componentes diferentes de zero). Continuando, assim, maior que 1.

Em seguida tiramos a raiz quadrada desse número maior que 1, que vai ser sempre maior que 1 também.

Passo 2

Agora vamos tentar achar contraexemplos para a segunda afirmativa:

v → = x 2 + y 2 + z 2 + w 2

v → = ( 0,8 ) 2 + ( 0,8 ) 2 + 0,8 2 + ( 0,8 ) 2

v → = 0,64 + 0,64 + 0,64 + 0,64

v → = 4 ∙ 0,64 = 2 ∙ 0,8 = 1,6 > 1

Logo, provamos que essa é falsa!

Resposta

d

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se u , v é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função P T : V × V → R definida por P T ( u , v ) = T ( u ) , T ( v ) .
Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .
Seja V = R 4 munido do produto interno usual, determinar um vetor não nulo v ∈ R 4 que seja ortogonal a v 1 = ( 1 ,1 ,1 ,- 1 ) , v 2 = ( 1 ,2 ,0 ,1 ) e v 3 = ( - 4 ,1 ,5 ,2 ) .
No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .
Consideremos no R 3 , o seguinte produto interno: x 1 , y 1 , z 1 ∙ x 2 , y 2 , z 2 = 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + 4 z 1 z 2 Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente o