Calcule a distância do ponto ( 3 ,   2 ,   1 ) ao plano 2 x - y + z = 0

(a) 5 6 6

(b) 30

(c ) 3 5 5

(d) 6 3

Passo 1

Precisamos achar a reta que é perpendicular ao plano 2 x - y + z = 0 e contém o ponto   P = 3 ,   2 ,   1 . Assim, vamos achar o ponto Q e calcular P Q → que vai ser a própria distância ( d ) :

Passo 2

O vetor diretor da reta que queremos vai ser aquele cujas coordenadas são os coeficientes das variáveis da equação do plano, 2 , - 1,1 .

A equação paramétrica da reta vai ser então:

r = 3,2 , 1 + t ( 2 , - 1,1 )

Queremos achar o ponto Q , interseção dela e do plano, então vamos achar a equação cartesiana para poder fazer o sistema linear:

x = 3 + 2 t y = 2 - t z = 1 + t

Substituindo t = z - 1   nas outras equações, temos:

x = 1 + 2 z y = 3 - z

Juntando com a equação do plano, temos um sistema:

x = 1 + 2 z y = 3 - z 2 x - y + z = 0

Resolvendo isso aí, temos que Q = 4 3 , 17 6 , 1 6

Passo 3

Agora é só calcular P Q → :

P Q → = 4 3 , 17 6 , 1 6 - ( 3,2 , 1 ) = - 5 3 , 5 6 , - 5 6

- 5 3 , 5 6 , - 5 6 = - 5 3 2 + 5 6 2 + - 5 6 2 = 5 6 6

Resposta

a

Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

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