Seja . Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:
Cada componente de é o produto interno de com uma linha de
Se tanto quanto as linhas de são vetores unitários, então todas as componentes de tem módulo menor que
Se é não-nulo e pertence à imagem de , então nunca será o vetor nulo
Se pertence ao núcleo de , então sempre será o vetor nulo
Passo 1
Vamos verificar letra por letra então ;)
Cada componente de é o produto interno de com uma linha de
Bom, o que fazemos quando multiplicamos uma matriz por um vetor? Vamos tomar uma matriz e um vetor do :
Logo:
Fiz com vetores do e uma matriz quadrada pra facilitar o entendimento, mas não é difícil perceber que isso vale para qualquer produto matriz vetor. Logo, essa afirmativa é verdadeira.
Passo 2
Se tanto quanto as linhas de são vetores unitários, então todas as componentes de tem módulo menor que
Óbviamente não. Vamos pegar um exemplo qualquer:
Todas as linhas de são vetores unitários, assim como o vetor . No entanto, o módulo da primeira componente de vale . Logo, não possui módulo menor que .
Logo, falsa.
Passo 3
Se é não-nulo e pertence à imagem de , então nunca será o vetor nulo
Essa é chatinha. Vou te dar um contra-exemplo pra provar que é falsa.
Bom, claramente não é o vetor nulo. Além disso, temos que:
Logo, pertence à imagem de . No entanto, vemos que é o vetor nulo. Portanto, a afirmativa é falsa.
Passo 4
Se pertence ao núcleo de , então sempre será o vetor nulo
Verdadeira. Se tiver marcado falsa vou até sua casa te bater rapá. Por definição, se pertence ao núcleo de , temos . Logo, sempre será o vetor nulo.
Resposta
V
F
F
V