Calcule a distância do ponto ( 1,2 , 3,4 ) ao hiperplano x + y + z + w = 0 .

(a) 5

(b) 30

(c) 4.5

(d) 3 2

Passo 1

Precisamos achar a reta que é perpendicular ao hiperplano x + y + z + w = 0 e contém o ponto   P = 1,2 , 3 ,   4 . Assim, vamos achar o ponto Q e calcular P Q → que vai ser a própria distância ( d ) .

Vou adaptar para uma situação em que o espaço em que estamos falando é um plano para ficar mais fácil de visualizar e entender:

Passo 2

O vetor diretor da reta que queremos vai ser aquele cujas coordenadas são os coeficientes das variáveis da equação do hiperplano, 1,1 , 1,1 .

A equação paramétrica da reta vai ser então:

r = 1,2 , 3,4 + t ( 1,1 , 1,1 )

Queremos achar o ponto Q , interseção dela e do plano, então vamos achar a equação cartesiana para poder fazer o sistema linear:

x = 1 + t y = 2 + t z = 3 + t w = 4 + t

Substituindo t = x - 1   nas outras equações, temos:

y = x + 1 z = x + 2 w = x + 3

Juntando com a equação do plano, temos um sistema:

y = x + 1 z = x + 2 w = x + 3 x + y + z + w = 0

Resolvendo isso aí, temos que Q = - 3 2 , - 1 2 , 1 2 , 3 2 .

Passo 3

Agora é só calcular P Q → :

P Q → = - 3 2 , - 1 2 , 1 2 , 3 2 - 1,2 , 3 ,   4 = - 5 2 , - 5 2 , - 5 2 , - 5 2

- 5 2 , - 5 2 , - 5 2 , - 5 2 = - 5 2 2 + - 5 2 2 + - 5 2 2 + - 5 2 2 = 5

Resposta

a

Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

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