Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P4 – 2017.1, Questão 12

Calcule a distância do ponto ao hiperplano

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1

Precisamos achar a reta que é perpendicular ao hiperplano e contém o ponto Assim, vamos achar o ponto e calcular que vai ser a própria distância .

Vou adaptar para uma situação em que o espaço em que estamos falando é um plano para ficar mais fácil de visualizar e entender:

Passo 2

O vetor diretor da reta que queremos vai ser aquele cujas coordenadas são os coeficientes das variáveis da equação do hiperplano,

A equação paramétrica da reta vai ser então:

Queremos achar o ponto interseção dela e do plano, então vamos achar a equação cartesiana para poder fazer o sistema linear:

Substituindo nas outras equações, temos:

Juntando com a equação do plano, temos um sistema:

Resolvendo isso aí, temos que

Passo 3

Agora é só calcular

Resposta

a

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Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se u , v é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função P T : V × V → R definida por P T ( u , v ) = T ( u ) , T ( v ) .

Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .

Seja V = R 4 munido do produto interno usual, determinar um vetor não nulo v ∈ R 4 que seja ortogonal a v 1 = ( 1 ,1 ,1 ,- 1 ) , v 2 = ( 1 ,2 ,0 ,1 ) e v 3 = ( - 4 ,1 ,5 ,2 ) .

No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .

Consideremos no R 3 , o seguinte produto interno: x 1 , y 1 , z 1 ∙ x 2 , y 2 , z 2 = 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + 4 z 1 z 2 Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente o