2) Considere as funções e . Prove que os gráficos de e se intersectam em um único ponto quando .
Passo 1
Uma boa forma de iniciar as questões é olharmos bem as funções:
Beleza, temos então duas funções contínuas em e, logo, contínuas no intervalo do intervalo. Se as duas são contínuas, não vamos ter pegadinha pra nenhum valor de . Agora, como a função quer saber quando:
Se estabelecermos uma nova função:
Podemos entender esse enunciado como “prove que tem raíz única”, sendo :
Passo 2
Ok, vamos então pensar nas raízes de . Se essa função tiver uma raíz no intervalo mostrado, é porque o sinal de pode mudar dependendo do escolhido, tal que:
Vamos testar alguns números dentro desse intervalo então. Uma boa primeira tentativa são os próprios extremos. Sendo assim, para , temos:
E para :
Opa , então vamos ter:
Sendo que:
Provamos que, de fato, nesse intervalo, pelo menos uma raiz vai ter
Passo 3
Agora, ainda não acabou. Precisamos provar que essa raíz é única. Do resultado:
Sabemos que tem pelo menos uma raíz. Agora, saca só. Como:
Se for estritamente decrescente no intervalo dado, então sim só tem uma raiz. Como pra saber se uma função é crescente ou não precisamos do sinal da derivada, vamos derivar então , beleza? Vamos ter:
E veja só, como:
Vamos ter que:
Veja que nenhum número nessas inequações, nem , nem , nem e nem são maiores que . Como a função subtrai
De , então de fato:
E logo:
E fechamos! Se a primeira derivada, que representa a inclinação da reta tangente de , é sempre negativa, então é estritamente decrescente e só existe uma raíz de no intervalo dado.
Resposta
Sendo , foi provado que possui somente uma raiz no intervalo ao provar-se a existência de pelo menos uma e contatar que