UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, 3º Estágio - 2016.1, Questão 1b
b) Determine o valor ou valores de tal que do Teorema do Valor Médio, onde no intervalo .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função e um intervalo e pediu pra gente determinar um ou mais valores de dentro desse intervalo.
O Teorema do Valor Médio nos diz que se é uma função contínua no intervalo e derivável em (, então existe um número em tal que
Ou, de maneira equivalente,
Vamos então conferir as condições do teorema para a nossa função e calcular o valor de usando a fórmula.
Vamos lá!
Passo 2
Como é uma função polinomial, então ela é contínua e derivável para todo , logo, ela é contínua em e derivável em .
Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, existe um número em tal que:
Calculando e , temos:
Calculando também a derivada da função:
Então, .
Substituindo tudo na equação do Teorema:
Logo,
Elevando os dois lados ao quadrado:
E está em , como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉