Esboço de Curvas
Seja . Mostre que tem exatamente uma raiz real e localize-a entre dois inteiros consecutivos.
Passo 1
Podemos começar essa questão usando o TVI para provar a existência de ao menos uma raiz. Como a função não chama atenção para nenhum intervalo ou valor de o melhor é utilizar valores como inteiros próximos a . Vou escolher os valores e :
Como e vemos que o termo é negativo.
é positivo.
Como a função muda de sinal no intervalo e é contínua, vemos que ela terá, no mínimo, uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Agora, falta provar que não temos exatamente uma raiz. Para isso podemos analisar sua derivada, da seguinte maneira:
Ora, sabemos que o cosseno tem valor máximo em e mínimo em . Vemos que o termo vai variar entre e . Sendo assim, como é maior que e é sempre positivo, vemos que será sempre positivo!
Tá, a derivada é sempre positiva, e o que isso significa para nós? Que a função vai ser sempre crescente! Olha, uma função que é sempre crescente pode cruzar o eixo no máximo uma vez!
Se no primeiro passo nós vimos que tinha pelo menos uma raiz e agora vimos que ela tem no máximo uma raiz garantimos que a única possibilidade dessas duas condições serem verdadeiras é se tiver exatamente uma raiz!