Mostre que a função abaixo tem exatamente uma raiz no intervalo dado.
Passo 1
Na fronteira esquerda do intervalo, a função não está definida, devido a cotangente que não existe em 0. Então, usamos o limite:
Que é negativo.
Na fronteira direita do intervalo, a função também não está definida, devido a tangente. Então, usamos novamente o limite:
Que é positivo.
Como temos um valor negativo na fronteira esquerda do intervalo e outro positivo na fronteira direita, então, pelo TVI, existe uma raiz para
Passo 2
Agora, para esta ser a única raiz, precisamos mostra que a função é monótona. Para isso, derivamos:
Precisamos mostrar que a derivada é sempre positiva ou negativa. Lembrando que:
E:
Assim:
Os termos quadráticos serão sempre positivos. Acrescidos de , a derivada será sempre maior que zero. Há, portanto, somente uma raiz na história.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)