UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 20
Prove que a equação admite uma única raiz real. Determine um intervalo de amplitude que contenha tal raiz.
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para mostrar quea equação admite uma única raiz real.
Além disso a questão também nos pede para determinar um intervalo de amplitude que contenha tal raiz.
Uma dica é derivarmos e igualar a zero a fim de analisar o seu sinal.
Depois, temos que analisar a função de acordo com o Teorema do Valor Intermediário.
Não entendeu? Então bora junto 😉
Passo 2
Bom... primeiramente, derivando , temos:
Igualando a zero, temos:
Para podemos perceber que assume valores negativos quando e positivos quando .
Por outro lado, para , podemos perceber que assume valores negativos quando e positivos quando .
Passo 3
Para podemos perceber que assume valores negativos quando e positivos quando .
Por outro lado, para , podemos perceber que assume valores negativos quando e positivos quando .
Passo 4
Lembrando que o Teorema do Valor Médio diz que “se é uma função contínua em e derivável em então existe pertencente a tal que a reta tangente ao gráfico de traçada pelo ponto é paralela à reta que passa por e ”.
Dessa forma, temos então que:
Dessa forma, existe uma raiz no intervalo .
Passo 5
As raízes de são e .
Assim, vamos achar desses dois pontos:
Que é um máximo local e um mínimo local.
Assim, a função é negativa em e cruza o eixo em , passando por um máximo positivo em , e passa por um mínimo positivo em e continua positiva no intervalo .
Como cruza o eixo apenas uma vez, tem somente uma raiz real.
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
No texto