Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação
Possui pelo menos uma solução real.
Passo 1
Parece doida essa igualdade mas nota o seguinte, se a gente passar um dos lados da igualdade pro outro, fica mais fácil de provar a mesma. Saca só:
Estabelecendo , ficamos com:
Opa, então na prática, pra gente provar que a equação tem pelo menos uma solução real, basta a gente provar que tem pelo menos uma raiz real!
Passo 2
Como raízes de funções são pontos, ou seja, valores de que zeram a função, segundo o teorema do valor intermediário (TVI), para , será verdade se:
Ou seja, basta a gente escolher algum valor de que façam terem sinais diferentes. Não tem jeito, vamos ter que chutar. Pra não chutarmos valores gigantes, vamos escolher números mais condizentes como por exemplo :
Ok, achamos um valor positivo. Será que se eu pegar um continuo achando positivo? Vamos ver:
Opa! Terminamos! Se e , pelo TVI, vai existir pelo menos um tal que . Se , definida como , possuir pelo menos uma raiz real, logo possuirá a equação original pelo menos uma solução real.
Resposta
Se e , pelo TVI, vai existir pelo menos um tal que . Se , definida como , possuir pelo menos uma raiz real, logo possuirá a equação original pelo menos uma solução real.