Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

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Enunciado

O número de soluções reais da equação x 6   +   2 x 4   +   3 x 2 +   x -   4   =   0 é:

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 6

Passo 1

Bem, para resolvermos essa e outras questões que te pedir para analisar quantas raízes tem uma equação, e você não souber resolver a equação analiticamente como uma do segundo grau, por exemplo, vou te introduzir uma ideia muito bacana! Veja só:

Quero te indagar o seguinte:

Qual a única chance de termos uma única raiz em uma função? Olha a imagem e tenta me responder:

Veja bem que a função é sempre crescente, então não tem como dela ter mais de uma raiz! Mas ela pode ter uma ou nenhuma sem problemas, saca?

Isso acontece, pois para ela ser sempre crescente a primeira deriva deve...

f ' x > 0    

Mas ela também poderia ser apenas decrescente e o raciocínio é o mesmo, ou seja nesse caso a primeira deriva seria sempre

f ' x < 0

Passo 2

Agora, tenta me responder essa daqui oh:

Qual a única chance de termos duas únicas raizes em uma função? Olha a imagem e tenta me responder:

Isso acontece só acontece se a concavidade for só pra baixo ou só pra cima. Em matematiquês a segunda derivada, que nos fala sobre a concavidade, deve ser apenas...

f ' ' x > 0         o u             f ' ' x < 0

Passo 3

Perceba então que para mais raízes o raciocínio é sempre o mesmo, ou seja, para termos até três raízes deve rolar para todo x no domínio que:

f ' ' ' x > 0       p a r a   q u a l q u e r   x   n a   f u n ç ã o    

o u       f ' ' ' x < 0       p a r a   q u a l q u e r   x   n a   f u n ç ã o    

Para termos até quatro raízes deve rolar para todo x no domínio que:

f 4 x > 0       p a r a   q u a l q u e r   x   n a   f u n ç ã o    

o u       f 4 x < 0       p a r a   q u a l q u e r   x   n a   f u n ç ã o    

Sacou?

Passo 4

Agora, depois dessa aulinha, estamos preparados para voltar ao nosso problema:

x 6   +   2 x 4   +   3 x 2 +   x -   4   =   0

Se chamarmos o lado esquerdo de f x ...

f x = x 6   +   2 x 4   +   3 x 2 +   x -   4  

Podemos derivar a vontade:

f ' x = 6 x 5 + 8 x 3 + 6 x + 1

Veja que ainda fica difícil de dizer alguma coisa, pois não sabemos se a função cúbica dai é sempre positiva ou sempre negativa... Então derivemos mais uma vez...

f ' ' x = 30 x 4 + 24 x 2 + 6

HAHA! Veja que essa derivada só é positiva, afinal de contas se chamarmos

u = x 2

f ' ' u x = 30 u 2 + 24 u + 6

E tentarmos calcular o zero dessa equação do segundo grau:

30 u 2 + 24 u + 6 = 0       →             5 u 2 + 4 u + 1

∆ = 4 2 - 4 ⋅ 5 ⋅ 1 = - 4

O delta dá negativo significando que não tem raiz! Como o termo que multiplica u 2 é positivo, então a função é inteiramente positiva:

f ' ' x > 0

Isso nos mostra que a nossa função f x pode ter até duas raiz reais apenas!

Passo 5

Eliminando a alternativa d e e , as demais continuam na jogada, afinal a função ainda pode assumir 0 raizes, 1   r a i z ou 2 , o que ela não pode ter é mais que isso saca?

Vamos então usar agora o Teorema do Valor Intermediário, lembra dele? Não? Calma, não precisa rir de nervoso que agora você não esquece mais:

Basicamente, esse teorema afirma que se uma função é continua em um intervalo fechado e muda de sinal dentro dele, obrigatoriamente existe uma raíz da função nesse intervalo. Então, pra sabermos quantas raízes a função x 6   +   2 x 4   +   3 x 2 +   x -   4 tem, precisamos achar intervalos em que ela muda de sinal.

Passo 6

x 6   +   2 x 4   +   3 x 2 +   x -   4   =   0    

Observe que

f - 1 = 6 - 5 = 1

e

f 0 = - 4

Logo, no intervalo [ - 1 ,   0 ] existe uma raíz. Além disso, note que

f 1 = 3

Portanto, no intervalo [ 0 ,   1 ] também há uma raíz.

Veja que encontramos dois intervalos onde tem uma raiz, logo a equação tem duas raízes. Como vimos, ela não pode ter mais já que

f ' ' x > 0

Então a resposta correta é...

c

Resposta

c )   2