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Exercícios Resolvidos de Capacitância Equivalente

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Enunciado

Capacitores e Dielétricos

Um capacitor esférico é formado por uma esfera interna de raio a e uma camada esférica concêntrica de raio interno 3 a , conforme a figura.

  1. Calcule a capacitância C deste capacitor no vácuo a partir da definição.
  2. Como se altera a capacitância se o espaço entre os condutores for preenchido com um material de constante dielétrica κ ?
  3. Quatro capacitores de capacitância C , inicialmente descarregados, foram associados e uma diferença de potencial V foi aplicada, conforme a figura. Determine a carga q na placa indicada na figura. Dê sua resposta em termos de C e V .

Passo 1

  1. Calcule a capacitância C deste capacitor no vácuo a partir da definição.

    2. Vamos lá!

    A definição de capacitância diz que:

    C = Q V

    Aí você olha e pensa: “Beleza! Vou calcular potencial entre as duas superfícies esféricas, de raios a e 3 a !”. Boa! O caminho é esse mesmo!

    Mas por definição, o potencial elétrico é dado por:

    V = ∫ a 3 a E → ∙ d r →

    Opa! Então temos que começar calculando o campo elétrico no interior do capacitor esférico!

    Então lá vai a ordem das coisas que temos que fazer:

    1. Calcular o campo elétrico E → na região a < r < 3 a ;
    2. Calcular o potencial elétrico V na região a < r < 3 a ;
    3. Calcular a capacitância;

    Passo 2

    1. Calcular o campo elétrico E → na região a < r < 3 a ;

      2. Pra isso, vamos utilizar a lei de Gauss... não tem muito mistério.

      A nossa gaussiana será a esfera de raio a < r < 3 a . Lei de Gauss neles!

      ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

      4 π r 2 E = Q ϵ 0

      E = Q 4 π ϵ 0 r 2

      Passo 3

    2. Calcular o potencial elétrico V na região a < r < 3 a ;

      3. V = ∫ a 3 a E → ∙ d r →

      V = Q 4 π ϵ 0 ∫ a 3 a d r r 2

      V = - Q 4 π ϵ 0   1 r a 3 a

      V = Q 4 π ϵ 0   1 a - 1 3 a = Q 4 π ϵ 0 2 3 a

      V = Q 6 π ϵ 0 a

      Passo 4

    3. Calcular a capacitância;

    C = Q V

    C = 6 π ϵ 0 a Q Q

    C = 6 π ϵ 0 a

    Passo 5

  2. Como se altera a capacitância se o espaço entre os condutores for preenchido com um material de constante dielétrica κ ?

    3. Esse aqui é ponto ganho pra você que sabe o que é um material dielétrico. Na dúvida, qualquer coisa dá uma lida no nosso material pra ficar mais tranquilo.

    De qualquer forma, quando adicionamos um material dielétrico entre os terminais de um capacitor, a capacitância agora será dada por:

    C ' = κ C

    É isso.

    Passo 6

  3. Quatro capacitores de capacitância C , inicialmente descarregados, foram associados e uma diferença de potencial V foi aplicada, conforme a figura. Determine a carga q na placa indicada na figura. Dê sua resposta em termos de C e V

Beleza! Pra começar, temos 3 capacitores em paralelo com um outro capacitor. Já que temos esses caras em paralelo, a diferença de potencial tanto no ramo de cima, quanto no ramo de baixo, será igual a V . Até aqui, nenhum mistério.

A segunda coisa que você precisa lembrar é que quando os capacitores são colocados em série, todos eles possuem a mesma carga q .

Sendo assim:

V = q C + q C + q C

V = 3 q C

q = C V 3

Onde q / C é a diferença de potencial em cada um dos capacitores.

Pronto! Sem drama, né?

Resposta

  1. C = 6 π ϵ 0 a

  2. C ' = κ C

q = C V 3

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