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Exercícios Resolvidos de Capacitância Equivalente

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Enunciado

A figura mostra um capacitor de placas paralelas com uma área das placas A = 7,89 c m 2 e uma distância entre as placas d = 4,62   m m .

A metade superior do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante dielétrica K 1 = 11,0 .

A metade inferior é preenchida por um material de constante dielétrica K 2 = 12,0 .

Qual é a capacitância?

Passo 1

Se observarmos bem, se uma corrente estivesse vindo de cima para baixo, por exemplo, ela passaria pelo dielétrico K 1 e depois pelo dielétrico K 2 , conseguiu visualizar?

Dá pra imaginar então que, ao invés desse troço complicado, nós poderíamos substituir isso por dois capacitores em série, um com o dielétrico K 1 e o outro com o dielétrico K 2 .

Uma forma diferente de resolver esse problema da forma apresentada na teoria é fazendo a soma das voltagens.

A voltagem resultante seria:

V = V 1 + V 2

Sendo que, cada um desses “novos capacitores” teriam as placas separadas por d / 2 .

Passo 2

A voltagem em cada um desses dielétricos é dada por:

V 1 = E 1 d 2

V 2 = E 2 d 2

Onde:

E 1 = q K 1 ϵ 0 A

E 2 = q K 2 ϵ 0 A

Sendo assim:

V 1 = q d 2 K 1 ϵ 0 A

V 2 = q d 2 K 2 ϵ 0 A

Agora é só jogar essa bagaça na equação que escrevemos no Passo 1.

Passo 3

V = V 1 + V 2

V = q d 2 K 1 ϵ 0 A + q d 2 K 2 ϵ 0 A

V = q d 2 ϵ 0 A   1 K 1 + 1 K 2

V = q d 2 ϵ 0 A K 1 + K 2 K 1 K 2

Por último, vale lembrar que:

V = q C → C = q V

C = 2 ϵ 0 A q q d K 1 K 2 K 1 + K 2

Arrumando isso aqui...

C = 2 ϵ 0 A d K 1 K 2 K 1 + K 2

Agora sim! Só temos que fazer as contas.

Passo 4

C = 2 ϵ 0 A d K 1 K 2 K 1 + K 2

Onde:

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C 2 N - 1 m - 2 ;

A = 7,89   c m 2 = 7,89 × 10 - 4   m 2 ;

d = 4,62   m m = 4,62 × 10 - 3 m ;

K 1 = 11,0 ;

K 2 = 12,0 ;

Logo:

C = 2 × 8,85 × 10 - 12 × 7,89 × 10 - 4 × 11 × 12 4,62 × 10 - 3 × 11 + 12

C = 1,734 × 10 - 11

C = 17,34   p F

Resposta

C = 17,34   p F

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