Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

Ver Teoria
Exercício 14123456789101112131516171819202122232425

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 5 – Exercício 10

(Capítulo 15.5 – Exercício 10) Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é delimitada pelas parábolas y = x 2   e x = y 2 ; ρ x ,   y = x

Passo 1

E aíí gente, belezinha?

Se liga só, nesse exercício queremos encontrar a massa m e o centro de massa ( x - , y - ) de uma lâmina com densidade ρ x , y = x e que está na região D , tal que D é delimitada pelas parábolas y = x 2   e x = y 2

Para encontrarmos a massa, vamos calcular ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A , vamos lá

Para encontrarmos as coordenadas ( x - , y - ) do centro de massa, fazemos

x - = M y m

y - = M x m

Onde

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A

Então boraaa

Passo 2

Galera, primeiro vamos calcular a massa:

m = ∬ D   ρ x ,   y   d A

Substituindo as informações que temos:

m = ∫ 0 1 ∫ x 2 x x   d y   d x

Vamos começar calculando a integral de dentro:

m = ∫ 0 1 y x x 2 x d x

E agora a integral de fora:

m = ∫ 0 1 x - x 5 2   d x

m = x 2 2 - x 7 2 7 2 0 1 = 1 2 - 2 7 = 3 14

Ebaa, então a massa é m = 3 14

Passo 3

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 1 ∫ x 2 x x x   d y   d x = ∫ 0 1 y x x x 2 x d x = ∫ 0 1 x 2 - x 7 2   d x = x 3 3 - x 9 2 9 2 0 1 = 1 3 - 2 9 = 1 9

Então temos que M y = 1 9 , logo, a coordenada x - do centro de massa é:

x - = M y m = 1 9 3 14 = 14 27

Passo 4

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 1 ∫ x 2 x y x   d y   d x = ∫ 0 1 y 2 x 2 x 2 x d x = ∫ 0 1 1 2 x 3 2 - x 9 2   d x = 1 2 x 5 2 5 2 - x 11 2 11 2 0 1 = 1 2 2 5 - 2 11 = 6 55

Se o momento M y é 6 55 , temos que a coordenada y - do centro de massa é:

y - = M x m = 6 55 3 14 = 28 55

Então, o centro de massa tem essas coordenadas:

x ,   - y - = 14 27 , 28 55

E fimmm meus amigos

Resposta

m = 3 14

x ,   - y - = 14 27 , 28 55

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Verifique que f x ,y = 4 x y , s e0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 0 , c a s oc o n t r á r i o á é uma função densidade conjunta.(b) Se X e Y são variáveis aleatórias cuja função densidade conjunta é f da par
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é uma região triangular com vértices 0 ,0 ,2 ,1 ,0 ,3 ; ρ x ,y = x + y
Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tendo comprimento a , se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da sua distâ
Xavier e Yolanda têm aulas que terminam ao meio-dia e concordaram em se encontrar todo dia depois das aulas. Eles chegam em um café separadamente. O tempo de chegada de Xavier é X e o da Yolanda é Y ,
Encontre o centro de massa da lâmina do Exercício 13 se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem.