Integrais Duplas sobre regiões gerais
Considere a região plana definida por
c)Calcule a coordenada do centroide de .
Passo 1
c) Alguém falou em centroide? Só tacar na fórmula! A coordenada do centroide é a integral dupla de na região determinada, dividida pela área da própria região (que é a integral dupla de ):
Podemos, então começar calculando essa integral dupla de ? Desenvolvendo, teremos:
Tá... e que integral é essa, de ? Estamos pensando em primitivas, certo? Então a pergunta é: o que, derivando, dá ?
Para responder a essa pergunta, temo que perceber que, como o aparece duas vezes, isso provém de uma “regra do produto”. E, ainda, que, se derivarmos , teremos:
Show? A derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro :) E viu o que temos no segundo termo? Exatamente o ! E qual é o primeiro? É , cuja derivada é ele mesmo! Assim, para “corrigir” essa regra do produto, temos que a primitiva de é , pois:
Eu sei, não é nada intuitivo... muito , muito , mas na hora da prova saia inventando e derivando expressões parecidas, até encontrar a primitiva. Se você demorar mais do que 10 minutos nisso, passe para a próxima XD
Continuando, temos:
E aí está, a integral dupla de :D
Passo 2
Vamos agora para a área dessa parada! No caso, para encontrarmos áreas, basta fazer a integral dupla de nada (no caso, da constante ) na região. Fica, então:
Finalmente, dividindo a integral dupla do passo anterior pela área que encontramos, temos:
Resposta
c)