USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 12c
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem densidade , nos seguintes casos:
c) é a região do primeiro quadrante limitada pela parábola e a reta e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a massa e o centro de massa da região , que tem uma densidade . E existem algumas definições que nos permitem fazer isso. Assim, a gente pode calcular a massa da região usando a equação:
Onde nossos intervalos de integração são dados pelos intervalos indicados em , pra e . Além disso, podemos encontrar as coordenadas do centro de massa uma lâmina ocupando a região , por meio das equações:
Então, vamos montar nossas integrais e calcular as propriedades pedidas. Vamos lá!
Passo 2
O enunciado nos disse que nossa região tá dentro do primeiro quadrante limitada pela parábola e a reta , que é essa área em amarelo:
Repara que o vai de a na região. E o varia da parábola até a reta . Então, nossa integral para a massa , com , vai ser:
Integrando em relação , vamos ter:
Aplicando os limites de integração em :
Agora integrando em relação a :
E aplicando os limites de integração em , encontramos nossa massa:
Passo 3
Agora vamos encontrar as coordenadas do centro de massa usando as integrais do passo . Nossa primeira coordenadas é dada por:
Substituindo , que encontramos no passo anterior, e os intervalos de integração da região , temos:
Assim, integrando em relação a :
E aplicando os intervalos de integração em :
Agora integrando em relação a :
Passo 4
Agora calculando a segunda coordenada, vamos usar a equação:
Substituindo os dados da densidade, da massa e da região :
Assim, integrando em relação a e aplicando os intervalos:
E integrando em relação a :
Então, nosso centro de massa tem coordenas .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉