Lista de exercícios 9 – UFABC – Técnicas de integração– questão 20 item d
Encontre o centroide das seguintes regiões:
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?
O centroide é a coordenada do centro geométrico um objeto.
O centroide é dado por:
Para y a função deve ser inversa
Veja como que a Area é bastante importante, pois ela aparece e também o seu valor infinitesimal. Bom a área é dada por:
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Sendo assim, a área é:
Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:
E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.
Sabe dizer qual que você usaria? Se disse voce acertou, pois podemos fazer de forma que podemos fazer x ser , veja!!
Façamos:
De forma que:
Lembre-se que quando fazemos uma substituição, qualquer que seja, temos que verificar como são os limites nessa transformação, assim:
Assim a nossa nova integral fica:
Como dizemos antes , logo . Assim:
Sabemos também que logo:
Achamos o valor de nossa área.
E como dado, , então
Passo 3
Já que conseguimos a área, então podemos obter as coordenadas do nosso centroide.
Para a coordenadas x:
Vamos cuidar primeiro da integral? Fica mais simples, não acha? Assim:?
Podemos aplicar a mesma técnica que usamos antes, veja!
Façamos:
De forma que:
E os mesmos limites que usamos antes, nessa mesma situação são os mesmos, ou seja:
Assim a nossa nova integral fica:
Sabemos que ou seja, que a derivada do cosseno é o seno, de forma que podemos tirar proveito disso. Como?
Façamos:
De forma que a derivada:
Lembra dos lance dos limtes? Que têm que mudar também? Assum:
Assim a nossa integral fica:
Existe uma propriedade importante das integrais, que é:
Ou seja, podemos trocar os limites de integração de ordem, considerando que a volta seria parte negativa.
Assim podemos fazer:
Resumindo:
Achamos o valor da nossa integral, assim podemos retornar à:
E para a coordenada y:
Já que então
OPAAAA, já fizemos essa integral antes, certo?! É a mesma que fizemos acima, então sabemos que o resultado final será:
Assim o centroide fica no ponto:
E assim fica o centroide na nossa região:
