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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

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Enunciado

UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 3.3d

Determine o centróide da região limitada por:

x 2 + y 2 = 1   ,   x 2 + y 2 = 4 ;     x ≥ 0 ,   y ≥ 0

Passo 1

Vem comigo que essa eu vou explicar passo a passo como encontramos o centróide da região limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 1   ,   x 2 + y 2 = 4 , com a condição de que x   e   y sejam maiores ou iguais a zero.

O centróide é um ponto que representa o "centro de equilíbrio" dessa região.

Primeiro, começamos encontrando a área dessa região. Imagine que essa região seja um anel ou um anel circular, porque ela está entre dois círculos concêntricos, um com raio 1 e outro com raio 2 (devido às equações x 2 + y 2 = 1   ,   x 2 + y 2 = 4 ).

Para calcular a área desse anel circular, subtraímos a área do círculo interno (raio 1) da área do círculo externo (raio 2).

A fórmula da área de um círculo é π ⋅ r a i o 2 .

Portanto, a área do círculo interno é π ⋅ 1 2 = π , e a área do círculo externo é π ⋅ 2 2 = 4 π .

A área do anel é a diferença entre essas áreas, que é 4 π - π = 3 π

Agora que temos a área da região 3 π , podemos calcular as integrais para encontrar o centróide. Existem duas integrais envolvidas, uma para x   em relação a y   e outra para y   em relação a x .

Essas integrais levam em consideração as curvas que delimitam a região.

Para encontrar as integrais, primeiro reescrevemos as equações das curvas em termos de y   como funções de x .   A equação x 2 + y 2 = 1   se torna y = 1 - x 2 e a equação x 2 + y 2 = 4 se torna y = 4 - x 2 .

Passo 2

Para encontrar o centróide da região limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 1   e x 2 + y 2 = 4 ,com x ≥ 0   e   y ≥ 0 , você pode usar a fórmula do centróide para uma região plana.

A fórmula geral para o centróide de uma região plana é dada por:

x - , y - = 1 A ∬ R x d y   d x ,   1 A ∬ R y d y d x    

onde x - , y - é o centróide, A   é a área da região, e a integral é realizada sobre a região R .

Primeiro, vamos encontrar a área da região. A região é limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 1   e x 2 + y 2 = 4 , o que corresponde a um anel ou um anel circular.

A área de um anel circular pode ser encontrada subtraindo a área do círculo interno da área do círculo externo. A área de um círculo é dada por π r 2 onde r   é o raio.

Agora, podemos calcular as integrais para encontrar o centróide. Primeiro, vamos calcular a integral de x em relação a y e depois a integral de y em relação a x ,   ambas sobre a região R .

Passo 3

A equação x 2 + y 2 = 1 pode ser reescrita como y = 1 - x 2 e a equação x 2 + y 2 = 4     pode ser reescrita como 4 - x 2

A integral de x em relação a y   é:

∬ R x d y d x = ∫ 0 1 ∫ 1 - x 2 4 - x 2 x   d y d x  

∫ 0 1 x 4 - x 2 - x 1 - x 2

d x = 28 9 π

A integral de y em relação a x é:

∬ R y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 1 - x 2 4 - x 2 y d x d y  

∫ 0 1 y 4 - x 2 - y 1 - x 2

d y = 28 9 π

Resposta

x - , y - = 28 9 π , 28 9 π

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