UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 3.3d
Determine o centróide da região limitada por:
Passo 1
Vem comigo que essa eu vou explicar passo a passo como encontramos o centróide da região limitada pelas curvas , com a condição de que sejam maiores ou iguais a zero.
O centróide é um ponto que representa o "centro de equilíbrio" dessa região.
Primeiro, começamos encontrando a área dessa região. Imagine que essa região seja um anel ou um anel circular, porque ela está entre dois círculos concêntricos, um com raio 1 e outro com raio 2 (devido às equações ).
Para calcular a área desse anel circular, subtraímos a área do círculo interno (raio 1) da área do círculo externo (raio 2).
A fórmula da área de um círculo é .
Portanto, a área do círculo interno é e a área do círculo externo é .
A área do anel é a diferença entre essas áreas, que é
Agora que temos a área da região podemos calcular as integrais para encontrar o centróide. Existem duas integrais envolvidas, uma para em relação a e outra para em relação a
Essas integrais levam em consideração as curvas que delimitam a região.
Para encontrar as integrais, primeiro reescrevemos as equações das curvas em termos de como funções de A equação se torna e a equação se torna .
Passo 2
Para encontrar o centróide da região limitada pelas curvas e ,com , você pode usar a fórmula do centróide para uma região plana.
A fórmula geral para o centróide de uma região plana é dada por:
onde é o centróide, é a área da região, e a integral é realizada sobre a região
Primeiro, vamos encontrar a área da região. A região é limitada pelas curvas e , o que corresponde a um anel ou um anel circular.
A área de um anel circular pode ser encontrada subtraindo a área do círculo interno da área do círculo externo. A área de um círculo é dada por onde é o raio.
Agora, podemos calcular as integrais para encontrar o centróide. Primeiro, vamos calcular a integral de em relação a e depois a integral de em relação a ambas sobre a região
Passo 3
A equação pode ser reescrita como e a equação pode ser reescrita como
A integral de em relação a é:
A integral de em relação a é: