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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

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Enunciado

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x - , y - do centro de massa de D .

D = ( x , y ) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 3 - x ; f x , y = x 2 + y 2

Passo 1

Nós sabemos que:

x - = M y M

y - = M x M

Portanto, precisamos de três valores para resolver o problema: a massa M e os momentos M x e M y .

Passo 2

Vamos calcular a massa M dessa região, integrando sua densidade ao longo de D :

M = ∬ D   f ( x , y ) d A

Como D é dada por 0 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 3 - x e f x , y = x 2 + y 2 , temos:

M = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x 2 + y 2 d y d x

= ∫ 0 3 x 2 y + y 3 3 0 3 - x d x =

= ∫ 0 3 3 x 2 - x 3 + 1 3 3 - x 3   d x =

= x 3 - x 4 4 - 1 12 3 - x 4 0 3 =

= 27 - 81 4 - 0 + 81 12 =

= 27 2

Passo 3

Agora, precisamos dos momentos. Vamos começar por M y :

M y = ∬ D   x   f ( x , y ) d A

M y = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x x 2 + y 2 d y d x

= ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x ( x 3 + x y 2 ) d y d x =

= ∫ 0 3 x 3 y + x y 3 3 0 3 - x d x =

∫ 0 3 ( 3 x 3 - x 4 + x 3 3 - x 3 ) d x

Vamos separar cada termo da integral acima pra ficar mais organizado.

Passo 4

Vamos ter:

∫ 0 3 3 x 3 d x = 3 x 4 4 │ 0 3   = 243 4

∫ 0 3 - x 4 d x = - x 5 5 │ 0 3 = - 243 5

∫ 0 3 x 3 3 - x 3 d x

Essa é um pouquinho mais chata, vamos ter que fazer uma substituição:

u = 3 - x → x = 3 - u

d u = - d x

Então, vamos ter:

∫ 3 - u 3 u 3 - d u = - 1 3 ∫ 3 u 3 - u 4   d u = - 1 3 3 u 4 4 - u 5 5 = - 3 - x 4 4 + 3 - x 5 15

Aplicando os limites de integração:

3 - x 5 15 │ 0 3 - 3 - x 4 4 │ 0 3 = 0 - 3 5 15 - 0 - 3 4 4 = - 243 15 + 81 4 = - 81 5 + 81 4

Somando tudo, vamos ter:

243 4 - 243 5 - 81 5 + 81 4 = 324 4 - 324 5 = 324 ∙ 5 - 324 ∙ 4 20 = 324 20

⇒ M y = 81 5

Passo 5

Agora vamos ver como que fica para M x :

M x = ∬ D   y   f ( x , y ) d A

M x = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x y x 2 + y 2 d y d x

= ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x ( x 2 y + y 3 ) d y d x =

= ∫ 0 3 x 2 y 2 2 + y 4 4 0 3 - x d x = ∫ 0 3 x 2 9 - 6 x + x 2 2 + 3 - x 4 4 d x

Vamos calcular um por um também pra não ficar aquela bagunça toda...

Passo 6

Vamos ter:

∫ 0 3 x 2 9 - 6 x + x 2 2 d x = ∫ 0 3 9 x 2 2 d x - ∫ 0 3 3 x 3   d x + ∫ 0 3 x 4 2 d x

⇒ 3 x 3 2 │ 0 3 - 3 x 4 4 │ 0 3 + x 5 10 │ 0 3

= 81 2 - 243 4 + 243 10 = 10 ∙ 81 - 243 ∙ 5 + 243 ∙ 2 20 = 810 - 243 ∙ 3 20 = 81 20

E também:

∫ 0 3 3 - x 4 4 d x = - 3 - x 5 20 │ 0 3 = - 0 - 243 20 = 243 20

Então é só somar:

M x = 81 20 + 243 20 = 324 20 = 81 5

Passo 7

Agora que já temos tudo, é só usar nossas fórmulas:

x - = M y M = 81 5 ∙ 2 27 = 3 ∙ 2 5 = 6 5

y - = M x M = 81 5 ∙ 2 27 = 3 ∙ 2 5 = 6 5

Pronto!

Resposta

M = 27 2

x - = 6 5

y - = 6 5

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