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Exercícios Resolvidos de Colisões com Rotação

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Enunciado

Momento angular

Dois pêndulos estão pendurados no mesmo ponto. Um deles é composto por uma corda de comprimento L e massa desprezível e um corpo puntiforme de massa M / 2 preso à extremidade da corda. O outro pêndulo é composto por uma haste homogênea também de comprimento L e massa M . O pêndulo formado pela corda e a massa pontual éafastado do equilíbrio até uma altura L / 2 e liberado de modo a colidir com o outro pêndulo ao atingir a posição vertical. Considerando as leis de conservação relevantes do problema e supondo que o corpo puntiforme fica em repouso após a colisão, a velocidade angular da haste, após a colisão, vale:

  1. 3 / 2 g / L 1 2
  2. 1 / 2 g / L 1 2
  3. 8 / 5 g / L 1 2
  4. 5 / 2 g / L 1 2
  5. Nenhuma das outras alternativas.

Momento de inércia de uma barra:

I C M = M L 2 12

Passo 1

Este problema, apesar de não parecer, é um problema de conservação do momento angular, saca só:

Passo 2

Começando com uma conservação de energia mecânica da massa, descobrimos a velocidade que a massa está quando o pêndulo dela fica na vertical:

E i = E f

No início a massa está parada logo a sua energia será só potencial gravitacional

E i = M 2 g L 2 = M g L 4

Onde definimos como nível de referência a altura da massa quando o fio estiver totalmente vertical

Quando o fio estiver totalmente vertical a sua energia mecânica será puramente cinética

E f = M 2 v 2 2 = M v 2 4

Igualando essas energias

E i = E f → M g L 4 = M v 2 4 → v 2 = g L

v = g L

Passo 3

Quando o pêndulo chega na vertical e colide com a barra o momento angular é conservado, já que não há torque externo:

L i = L f

Antes da colisão o momento angular é somente o da massinha pois a barra está em repouso! Como a velocidade da barra é perpendicular ao raio da sua trajetória

L i = M 2 v L

Como já calculamos a velocidade no passo anterior

L i = M 2 g L L

Passo 4

Após a colisão a massinha fica parada e quem começa a rotacionar é a barra, assim o nosso momento angular final fica

L f = I ω

O momento de inércia que entra aqui é o momento em relação à ponta superior da barra, só que o enunciado nos deu o momento de inércia em relação ao centro de massa! Pra calcular I basta usar o teorema dos eixos paralelos!

I = I C M + M d 2

Esse d é a distância do centro de massa em relação ao eixo de rotação. No nosso caso d = L / 2 . Assim

I = I C M + M L 2 2 = M L 2 12 + M L 2 4

I = M L 2 3

Assim o nosso momento angular final fica

L f = M L 2 3 ω

Passo 5

Usando a conservação de momento angular

L i = L f

M 2 g L L = M L 2 3 ω

Cortando M L dos dois lados e isolando o ω

ω = 3 2 g L L = 3 2   g L L 2

ω = 3 2 g L

Olhando as opções a resposta vai ser a letra A

Resposta

Letra A

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