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Exercícios Resolvidos de Colisões com Rotação

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Enunciado

Fundamentos de Física – Mecânica. Halliday e Resnick. 9ª edição. Capítulo 11, exercício 75.

Um parquinho possui um pequeno carrossel com 1,20   m de raio e uma massa de 180   k g . O raio de giração do carrossel (veja o problema 79 do Capítulo 10) é 91,0   c m . Uma criança com 44,0   k g de massa corre com uma velocidade de 3,00   m / s em uma trajetória tangente à borda do carrossel, inicialmente em repouso, e pula no carrossel. Despreze o atrito entre os rolamentos e o eixo do carrossel. Calcule (a) o momento de inércia do carrossel em relação ao eixo de rotação, (b) o módulo do momento angular da criança em relação ao eixo de rotação do carrossel e (c) a velocidade angular do carrossel e da criança após a criança saltar no carrossel.

Passo 1

Show de belezura pessoal, pra gente calculcar o momento de inércia do carrossel, podemos usar a definição de raio de giração, já que foi dado pelo enunciado. Assim, o momento de inércia de um corpo de massa M , cujo o raio de giração k foi calculado, pode ser determinado por:

I C = M k 2

Substituindo os valores que o enunciado nos deu sobre o carrossel, obtemos que seu momento de inércia será:

I C = 180   kg × 0,91   m 2

I C = 149   kg∙ m 2

Passo 2

Para determinar o momento angular da criança em relação ao eixo de rotação do carrossel, podemos usar a seguinte relação:

L = R m v

Assim, substituindo os valores:

L c r i a n ç a = 1,20 44,0 3,00

L c r i a n ç a = 158   kg∙ m 2 /s

Passo 3

Como não há torque resultante no sistema carrossel-criança, então, pela lei de conservação do momento angular, temos que:

L 0 = L f

Como inicialmente o carrossel está em repouso, então o momento angular do carrossel inicial é nulo. Assim:

L 0 = L c a r r o s s e l + L c r i a n ç a

L 0 = 0 + L c r i a n ç a

L 0 = L c r i a n ç a

Além disso, nos instante final, o momento angular será forma pelo sistema criança-carrossel que vai possuir uma certa velocidade angular ω , tal que:

L f = I s i s t e m a ω

Igualando as duas equações, obtemos que:

L c r i a n ç a = I s i s t e m a ω

Sabendo que:

I s i s t e m a = I C + m c r i a n ç a R 2

Então:

L c r i a n ç a = I C + m c r i a n ç a R 2 ω

Isolando ω e substituindo os valores:

ω = L c r i a n ç a I C + m c r i a n ç a R 2

ω = 158 149 + 44 × 1,2 2

ω = 0,744   rad/s

Resposta

  1. I C = 149   kg∙ m 2
  2. L c r i a n ç a = 158   kg∙ m 2 /s
  3. ω = 0,744 / s

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