PUC, Física 4, P2 2018.1, 2
Em algum momento no futuro da Terra…
Descobre-se que um asteroide, a 120 milhões de quilômetros de distância, tem sua trajetória em rota de colisão com a Terra. A velocidade do asteroide é não-relativística e para todos os efeitos práticos pode ser desprezada. A agência espacial americana manda, em t =0, uma nave não tripulada em direção ao asteroide, com velocidade (medida na Terra). Considere o sistema de referência da nave () tendo e (origem de posição e tempo coincidentes para a Terra e a nave), sendo a direção definida entre a Terra e o asteroide.
(a) De acordo ao computador de bordo da nave, já em movimento, qual é a distância que a nave deverá percorrer até chegar ao asteroide e qual será o tempo de viagem?
Passo 1
Sempre que formos resolver esse tipo de questão, precisamos ter muito bem em mente quais são os referenciais em repouso e em movimento, pois se não, nunca conseguiremos resolver questões relativísticas, com isso temos o seguinte.
é o referencial do sistema em repouso, no nosso caso esse sistema é a própria Terra. O referencial é o referencial acoplado a nave, ou seja, é o referencial em movimento com relação a Terra. No enunciado também temos que o que é pedido é a distância que a nave deverá percorrer até alcançar o asteroide, medido nesse caso, pelo computador da nave. E também é pedido quanto tempo a viagem irá demorar. Sabemos então que para resolvermos o nosso problema, podemos ir por dois caminhos. O primeiro caminho irá nos levar para a solução usando a fórmula de distância, e o segundo caminho pela fórmula de tempo. Resolvendo primeiro pela fórmula da distância teremos que lembrar que
Em que
Substituindo na nossa equação teremos que
Passo 2
Agora vamos voltar a entender os referenciais, sabemos que todo referencial que tem um tracinho em cima (S’) é o referencial da nave e todo que não tem (S) é o referencial da Terra. Nesse caso estamos avaliando qual a distância medida pela nave () com base na distância medida pela Terra (). Sabendo disso precisamos tomar uma decisão, os 120 milhões de quilômetros foram medidas pela nave ou pela Terra?
Como ainda não se tinha a nave, essa distância foi medida pela Terra, logo significa que
E que o que queremos descobrir é
Sabemos também que a velocidade da nossa nave é de
Já temos tudo então para substituirmos na nossa fórmula, assim teremos que
Como queremos medir o tempo medido pela nave, basta fazermos a relação da sua velocidade com a distância medida pela própria nave
Assim teremos que
Sabemos que
Sabemos que
Logo teremos que a distância medida pela nave foi de
E o tempo medido por ela foi de
Mas como eu disse antes, também podemos conferir alguns valores que já calculamos através de outras fórmulas, no caso podemos conferir da seguinte maneira.
Sabemos que na Terra calculamos o tempo pela fórmula
E sabemos que pela transformação de Lorentz teremos que
Como queremos o tempo na nave, faremos
Substituindo teremos que
Substituindo teremos que
Logo, de fato o tempo que calculamos antes está correto
Resposta
Temos que a distância medida pela nave foi de
E o tempo medido por ela foi de